Квадратно дробно неравенство с параметър

[Гост]

Неравенството е следното :

(x^2-2kx-24k^2)/2(k-1) - x - 6(2k+2)<0

[KOPMOPAH]

И ще си остане такова, освен ако някой не се смили да ти го реши въпреки липсата на въпрос.

[Гост]

Да се реши неравнеството?

[Гост]

Пише , че се свежда до (х-6к)(х+4к)/2(к-1)<0 , а аз получавам друго..

[ammornil]

Не може да се свежда до това, което си написал, защото това е само първата част от посочения израз: [tex]\frac{x^{2}-2kx-24k^{2}}{2(k-1)} = \frac{(x-6k)(x+4k)}{2(k-1)}[/tex]

Надявам се да съм разчел условието правилно.

(x^2-2kx-24k^2)/2(k-1) - x - 6(2k+2)<0

[tex]\frac{x^{2}-2kx-24k^{2}}{2(k-1)}-x-6(2k+2)<0[/tex]

Вижда се, че при [tex]k=1[/tex] изразът няма смисъл [tex]\Rightarrow k \ne 1[/tex].

[tex]\frac{x^{2}-2kx-24k^{2}-2(k-1)x-2(k-1).6(2k+2)}{2(k-1)}<0 \Leftrightarrow\frac{x^{2}+(-2k-2k+2)x-24k^{2}-12.2.(k-1)(k+1)}{2(k-1)}<0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-2(2k-1)x-24k^{2}-24.(k^{2}-1^{2})}{2(k-1)}<0 \Leftrightarrow
\frac{x^{2}-2(2k-1)x-24k^{2}-24.k^{2}-1^{2}}{2(k-1)}<0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-2(2k-1)x-48k^{2}+24}{2(k-1)}<0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-2(2k-1)x-24(2k^{2}-1)}{2(k-1)}<0[/tex]

Понеже частното е по-малко от нула, следва че числителят и знаменателят имат различни знаци.

Разглеждаме случаи за стойността на параметъра, произтичащи от ограничението за [tex]k[/tex].

1) [tex]k<1 \Rightarrow 2(k-1)<0 \Rightarrow x^{2}-2(2k-1)x-24(2k^{2}-1)>0[/tex]
Дискриминантата на последния израз е: [tex]D=(2k-1)^2+24(2k^{2}-1)=4k^{2}-4k+1+48k^{2}-24=52k^{2}-4k-23[/tex]
Понеже [tex]D\ge0 \Rightarrow k \in \left( - \infty;\frac{1-10\sqrt{3}}{26} \right][/tex] и тогава [tex]x \in \left( - \infty; 2k-1-\sqrt{52k^{2}-4k-23} \right) \cup \left( 2k-1+\sqrt{52k^{2}-4k-23}; +\infty \right)[/tex]

2) [tex]k>1 \Rightarrow 2(k-1)>0 \Rightarrow x^{2}-2(2k-1)x-24(2k^{2}-1)<0[/tex]
Отново, дискриминантата е: [tex]D=(2k-1)^2+24(2k^{2}-1)=4k^{2}-4k+1+48k^{2}-24=52k^{2}-4k-23[/tex]
Понеже [tex]D\ge0 \Rightarrow k \in \left[\frac{1+10\sqrt{3}}{26};+\infty \right)[/tex] и тогава [tex]x \in \left( 2k-1-\sqrt{52k^{2}-4k-23}; 2k-1+\sqrt{52k^{2}-4k-23} \right)[/tex]

[S.B.]

Неравенството е следното :

(x^2-2kx-24k^2)/2(k-1) - x - 6(2k+2)<0

Според мен условието може би е:
[tex]\frac{ x^{2 } - 2kx -24 k^{2 } }{2(k - 1) - x - 6(2k + 2)}< 0[/tex] ???
Ама знае ли се?То човек предполага,но Гост разполага!
Може би и двамата с колегата ammornil не сме познали!
От упътването може би ще се изведе условието,но най -добре ще е да ни го каже нашият Гост,ако иска да се реши задчата.