Дробно неравенство

[simona_ovcharova]

Да се реши неравенството $$\dfrac{(7x-10-x^2)(x-2)(x^2-1)}{x(x-3)^2(x+4)}\ge 0$$
Това неравенство е еквивалентно на $$\dfrac{(x-2)^2(x-5)(x-1)(x+1)}{x(x-3)^2(x+4)}\le 0$$ Като си разположа нулите върху числовата ос, се получава, че при две съседни числа ($2$ и $3$) не се сменя знака, защото идват от множители на четна степен. По какъв начин сменяме знаците тогава? Правилото е, че от ляво надясно сменяме алтернативно, ами тук как става?

[S.B.]

Да се реши неравенството $$\dfrac{(7x-10-x^2)(x-2)(x^2-1)}{x(x-3)^2(x+4)}\ge 0$$
Това неравенство е еквивалентно на $$\dfrac{(x-2)^2(x-5)(x-1)(x+1)}{x(x-3)^2(x+4)}\le 0$$ Като си разположа нулите върху числовата ос, се получава, че при две съседни числа ($2$ и $3$) не се сменя знака, защото идват от множители на четна степен. По какъв начин сменяме знаците тогава? Правилото е, че от ляво надясно сменяме алтернативно, ами тук как става?

Д.М. [tex]x \ne 0 ,x \ne 3, x \ne - 4[/tex]
[tex](x - 3)^{2 }> 0[/tex] за [tex]\forall x \in[/tex]Д.М.
[tex](x - 2)^{2 } > 0[/tex] за [tex]\forall x \ne 2[/tex] защото за $x = 2 ,(x - 2) = 0$
Тогава $2$ и $3$ няма да присъстват на числовата ос и неравенството става [tex]x(x + 4)(x - 5) (x - 1)(x + 1) \le 0[/tex]
Отговорът е [tex]x\in (- \infty ; - 4) \cup [-1;0) \cup [1;3) \cup (3;5][/tex]

[grav]

По какъв начин сменяме знаците тогава? Правилото е, че от ляво надясно сменяме алтернативно, ами тук как става?

Няма такова правило. По-точно правилото не важи винаги. Когато имаш множители на четна степен, както в твоя пример, знаcите няма да се сменят алтернативно.