Неравенство

[nikola.topalov]

Решете неравенството [tex](4x-x^2-3)\log_2(1+\cos^2 \pi x)\geqq 1[/tex].

[Davids]

Функцията отляво е произведение на две функции:
$f(x) = -x^2 +4x - 3$
$g(x) = \log_2(1+\cos^2(\pi x))$

Правим две наблюдения:
1) $f$ е квадратна функция с отрицателен коефициент пред втората степен с връхна точка в $x = \frac{-4}{-2} = 2$, т.е. максимум (единствен, глобален) със стойност $f(2) = 1$.
2) $g(x) \in (0, 1]$ по алгебрично-тригонометрични съображения, т.е. $g$ също има НГС 1.

Т.е. единствени решения на задачата са точките, в които се постига равенство, т.е. $f(x) = g(x) = 1$. А тук решението е единствено заради $f$ и то е $x = 2$.