Неравенство

[Здравко 99]

20211116_144819.jpg (718.99 KiB) Прегледано 1280 пъти

[ammornil]

[tex]4x^{2}+3^{\sqrt{x}+1} +x.3^{\sqrt{x}}<2.x^{2}.3^{\sqrt{x}}+2.x+6[/tex]

[tex]DM: x\ge0[/tex]

[tex]4x^{2}+3.3^{\sqrt{x}} +x.3^{\sqrt{x}}<2x^{2}.3^{\sqrt{x}}+2x+6 \Leftrightarrow 4x^{2}-2x-6<2x^{2}.3^{\sqrt{x}}-3.3^{\sqrt{x}} -x.3^{\sqrt{x}}[/tex]
[tex]2(2x^{2}-x-3)<3^{\sqrt{x}}(2x^{2}-x-3)[/tex]
Изразът в скобите може да приеме стойност нула: [tex]2x^{2}-x-3 \rightarrow D=(-1)^{2}-4.2.(-3)=1+24=25 \rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{1\pm5}{4} \begin{cases} x_{_{1}}=-1 \notin DM \\ x_{_{2}}=\frac{3}{2} \in DM \end{cases}[/tex]
---
При [tex]x< 0[/tex] задачата няма решения, защото [tex]\sqrt{x} \notin R[/tex] (NB! ако се допускат комплексни числа за решения, това ще промени отговора).
---
При [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] задачата няма решения, защото и двете страни на неравенството приемат стойност нула, а в знака на неравенството няма равно.
---
При [tex]x \in \left[ 0; \frac{3}{2} \right)[/tex] изразът в скобите има отрицателна стойност, но не е равен на нула. Това означава, че можем да разделим двете страни с този израз, но понеже имаме деление с отрицателно число, следва да обърнем знака на неравенството.

Получаваме: [tex]2>3^{\sqrt{x}}[/tex] или [tex]3^{\sqrt{x}}<2[/tex]
Логаритмуваме двете страни с основа три. Понеже основата е по-голяма от 1, знакът на неравенството се запазва.
[tex]\sqrt{x}.log_{_{3}}(3)<log_{_{3}}(2) \Rightarrow \sqrt{x} < \frac{log_{_{3}}(2)}{1} \Rightarrow x<log^{2}_{_{3}}(2)[/tex]
Знаем, че [tex]log_{_{3}}(2)<1[/tex], защото логаритмувания аргумент е по-малък от основата на логаритъма [tex]\Rightarrow log^{2}_{_{3}}(2) < 1[/tex], следователно:
[tex]\begin{array}{|l} x \in \left[ 0; 1\frac{1}{2} \right) \\ x \in ( - \infty ; log^{2}_{_{3}}(2) \end{array} \Rightarrow x \in [0;log^{2}_{_{3}}(2))[/tex]
---
При [tex]\left(\frac{3}{2}; + \infty \right)[/tex] изразът в скобите има положителна стойност и не е равен на нула. Това означава, че можем да разделим двете страни с този израз, но понеже имаме деление с положително число, следва да запазим знака на неравенството.
Получаваме: [tex]2<3^{\sqrt{x}}[/tex] или [tex]3^{\sqrt{x}}>2[/tex] Прилагаме аналогични преобразувания, както в предходния случай.
[tex]\sqrt{x}.log_{_{3}}(3)>log_{_{3}}(2) \Rightarrow \sqrt{x} > \frac{log_{_{3}}(2)}{1} \Rightarrow x>log^{2}_{_{3}}(2)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x \in \left(\frac{3}{2}; + \infty \right) \\ x \in ( log^{2}_{_{3}}(2); +\infty) \end{array} \Rightarrow x \in \left(\frac{3}{2}; + \infty \right)[/tex]

От четирите разгледани случая получаваме обобщено решение (обединение на всички решения): [tex]x \in [0;log^{2}_{_{3}}(2)) \cup \left(\frac{3}{2}; + \infty \right)[/tex]
[tex][/tex]