Ирационално неравенство

[Гост]

Неравенството е следното : корен квадратен от x^2+7x + корен квадратен от 25-x^2 > 3

[vezni]

Това ли имате предвид?
$$\sqrt{x^2+7x}+\sqrt{25-x^2}>3 $$

[nikola.topalov]

Искаме да решим неравенството
$$\sqrt{x^2+7x}+\sqrt{25-x^2}>3$$
Започваме с определяне на дефиниционното множество [tex]D[/tex] на неравенството. Имаме
$$\begin{array}{|l} x^2+7x\geqq 0 \\ 25-x^2 \geqq 0 \end{array}$$
откъдето
$$\begin{array}{|l} x\in(-\infty,-7]\cup[0,+\infty) \\ x\in[-5,5] \end{array}$$
И така получаваме [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|x\in[0,5]\}[/tex]. Понеже двете страни на неравенството са положителни, то спокойно можем да вдигнем на квадрат:
$$x^2+7x+2\sqrt{(x^2+7x)(25-x^2)}+25-x^2>9\iff 2\sqrt{(x^2+7x)(25-x^2)}>-7x-16$$
Горното неравенство е еквивалентно на системата
$$\begin{array}{|l} -7x-16\geqq 0 \\ (x^2+7x)(25-x^2)>(-7x-16)^2 \end{array}\iff \begin{array}{|l} x\leqq-\dfrac{16}{7} \\ x^4+7x^3+24x^2+49x+256<0 \end{array}$$
Ще докажем, че [tex]f(x)=x^4+7x^3+24x^2+49x+256>0:\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Пресмятаме първа и втора производна на функцията съответно [tex]f'(x)=4x^3+21x^2+48x+49[/tex] и [tex]f''(x)=12x^2+42x+48>0:\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Това означава, че [tex]f'(x)[/tex] е строго растяща. Пресмятаме [tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f'(x)=\pm\infty[/tex] и понеже [tex]f'(x)[/tex] е непрекъсната, то съгласно теоремата на Болцано [tex]\exists x_0:f'(x_0)=0[/tex], който се оказва и единствен корен на у-то [tex]f'(x)=0[/tex]. Оттук можем да си направим извода, че [tex]f(x)[/tex] е намаляваща в [tex](-\infty,x_0)[/tex] и растяща в [tex](x_0,+\infty)[/tex]. Остава да докажем, че [tex]f(x_0)>0[/tex], при условие че [tex]f'(x_0)=0[/tex]. Имаме
$$f(x_0)=x_0^4+3x_0^2+4x_0+207+4x_0^3+21x_0^2+48x_0+49=x_0^4+3x_0^2+4x_0+207$$
Понеже [tex]g(x)=x^4+3x^2+4x+207=(x^2+1)^2+(x+2)^2+202>0:\forall x\in\mathbb{R}[/tex], то [tex]f(x_0)>0[/tex], което означава, че [tex]f(x)>0:\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Следователно
$$\begin{array}{|l} x\leqq-\dfrac{16}{7} \\ x^4+7x^3+24x^2+49x+256<0 \end{array}\iff \begin{array}{|l} x\leqq-\dfrac{16}{7} \\ x\in\varnothing \end{array}\iff x\in\varnothing$$$$
Окончателно решение на неравенството е обединението [tex]x\in\varnothing\cup x\in D[/tex] или само [tex]x\in D[/tex].

[Nathi123]

[tex]\sqrt{ x^{2 }+7x }[/tex] и [tex]\sqrt{25- x^{2 } }[/tex] съществуват за стойности на х ,които са решения на системата [tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 7x \ge0 \\ 25- x^{2 } \ge0 \end{array}[/tex] т.е. за x[tex]\in [0,5][/tex].При тези условия решаваното неравенство е еквивалентно на системата [tex]\begin{array}{|l} x \in[0,5] \\ 2 \sqrt{( x^{2 } +7x)(25- x^{2 }) } >-7x-16\end{array} \Leftrightarrow x \in[0,5][/tex],
защото за тези стойности на х изразът -7х -16 приема отрицателни стойности,а коренът в лявата страна на второто неравенство от системата е дефиниран и е неотрицателен.Значи второто неравенство е изпълнено за х[tex]\in [0,5] ![/tex]. И изобщо трябва много да се внимава ,
дали дадено ирационално неравенство се решава с повдигане двете страни на неравенството на втора степен!