Докажете неравенството

[Гост]

[tex]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{3n + 1} > 1[/tex], при [tex]n \ge 1[/tex]. Да се докаже с помощта на математическа индукция?

[peyo]

[tex]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{3n + 1} > 1[/tex], при [tex]n \ge 1[/tex]. Да се докаже с помощта на математическа индукция?

Да видим за n=1

[tex]S(1)=\frac{1}{1+1} + \frac{1}{1 + 2} + ... + \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1.0833333333333333 \ge 1[/tex]

Да видим за n+1

[tex]S(n+1)=\frac{1}{n+1+1} + \frac{1}{n +1 + 2} + ... + \frac{1}{3(n+1) + 1} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n +3} + ... + \frac{1}{3n+4}[/tex]

[tex]S(n) = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{3n + 1} > 1[/tex],

[tex]S(n+1)= S(n) -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{3n+2} + \frac{1}{3n+3} + \frac{1}{3n+4}[/tex]

Чудесно, по метода на индукцията S(n)> 1 , значи остава са докажем, че :

[tex]-\frac{1}{n+1} + \frac{1}{3n+2} + \frac{1}{3n+3} + \frac{1}{3n+4} > 0[/tex]

Което е много лесно, но трябва да решим уравнение от 3-та степен. Да помислим малко дали няма по-лесен начин...