Доказателство

[Гост]

Докажете неравенството ако a>0, b>0
a^4 + b^4 [tex]\ne[/tex] a^3 b + a b^3

[Гост]

[tex]\ge[/tex] трябва да е

[KOPMOPAH]

$$a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$
Приемаме, че $a \ge b>0$. Повдигаме двете страни на неравенството на трета степен и умножаваме с неотрицателното число $(a-b) $, което не се отразява на посоката на неравенството. Получаваме $$a^3(a-b)\ge b^3(a-b) $$откъдето след извършване на действията следва $$a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$

[Jack]

Докажете неравенството ако a>0, b>0
a^4 + b^4 [tex]\ne[/tex] a^3 b + a b^3

Моето решение:

$a^{4} + b^{4} - a^{3}b - ab^{3} = (a - b)^{2}(a^{2} + ab + b^{2})$

$(a - b)^{2}$$(a^{2} + ab + b^{2})$ $\ge$ $0$ със сигурност, защото:

• $a > 0, b > 0$
• синята и червената част са винаги $\ge 0$

[Гост]

Трябва да се докаже като се образува разликата
a^4 + b^4 - a^3 b - ab^3
Но не се сещам как да стане

[Jack]

Трябва да се докаже като се образува разликата
a^4 + b^4 - a^3 b - ab^3
Но не се сещам как да стане

Аз съм решил задачата точно така.

[Гост]

Може ли да обясниш как стигна до това решение

[S.B.]

Да се докаже,че:
[tex]a^{4 } + b^{4 } \ge a^{3 }b + a b^{2 }[/tex]

Ако [tex]A = a^{4 } + b^{4 }[/tex] , [tex]B = a^{3 }b + a b^{3 }[/tex]
To [tex]A \ge B[/tex] когато [tex]A - B \ge 0[/tex]
За това се налага да докажем,че разликата на двете страни е по-голяма или равна на $0$

[tex]a^{4 } + b^{4 } - a^{3 }b - a b^{3 } =[/tex]
[tex]= ( a^{4 } - a^{3 }b) + ( b^{4 } - ab^{3 }) =[/tex]
[tex]= a^{3 }(a - b) + b^{3 }(b - a) =[/tex]
[tex]= a^{3 } (a - b) - b^{3 }(a - b) =[/tex]
[tex]= (a - b)( a^{3 } - b^{3 } ) =[/tex]
[tex]= (a - b)(a - b)( a^{2 } + ab + b^{2 }) =[/tex]
[tex](a - b)^{2 }( a^{2 } + ab + b^{2 }) \ge 0[/tex]
Равенство се достига при $a = b$