Задачи с неравенства

[Гост]

Без име.png (45.42 KiB) Прегледано 1260 пъти

[mail_dinko]

Задача 4:
[tex]log_x (4-x) \ge 2[/tex]
[tex]DM: x<4[/tex]
Не съм сигурен но мисля, че трябва да се разгледат 2 случая: при основа между 0 и 1; и при >1
[tex]x>1[/tex]
[tex]log_x (4-x) \ge log _ x x^2[/tex]
[tex]4-x \ge x^2 \Leftrightarrow x^2 + x - 4 \le 0[/tex]
[tex]D= 17[/tex]
[tex]x_ {1,2} = \frac {-1 \pm \sqrt {17}}{2}[/tex]
[tex]x \in [ \frac {-1 - \sqrt {17}}{2} ; \frac {-1 + \sqrt {17}}{2} ] \cap x<4[/tex]
[tex]x \in ( 1; \frac {-1 + \sqrt {17}}{2} ][/tex]
При [tex]0<x<1[/tex]
[tex]log_x (4-x) \ge log _ x x^2[/tex]
[tex]4-x \le x^2 \Leftrightarrow x^2 + x - 4 \ge 0[/tex]
[tex]D= 17[/tex]
[tex]x_ {1,2} = \frac {-1 \pm \sqrt {17}}{2}[/tex]
[tex]x \in (- \infty ; \frac {-1 - \sqrt {17}}{2}] \cup ; [\frac {-1 + \sqrt {17}}{2} ; 4)[/tex]

[mail_dinko]

Зад. 3
[tex]log _ {\frac {1}{4}} (2-x) > log _ {\frac {1}{4}} \frac {2}{2+x}[/tex]
[tex]2-x < \frac {2}{2+x}[/tex]
[tex]DM: 2-x> 0 \Rightarrow x<2[/tex]
[tex]DM: 2+x >0 \Rightarrow x>-2[/tex]
[tex]DM: x \in (-2;2)[/tex]
[tex]\frac {4-x^2 -2}{x+2}<0[/tex]
[tex]\frac {x^2-2}{x+2}>0[/tex]
[tex]\frac {(x - \sqrt {2} )(x + \sqrt {2} )}{x+2}>0[/tex]
Като направим сечение с ДМ
[tex]x \in (-2 ; - \sqrt {2} ) \cup ( \sqrt {2} ; 2)[/tex]

[mail_dinko]

[tex]a. 2^x + 2 ^{-x} = 5[/tex]
[tex]a. 2^x + \frac {1}{2^x} = 5[/tex]
Полагаме [tex]2^x = t>0[/tex]
[tex]at+ \frac {1}{t} = 5 |.t >0[/tex]
[tex]at^2 -5t+ 1 =0[/tex]
При [tex]a=0; t = \frac {1}{5}[/tex]
[tex]2^x = \frac {1}{5} \Rightarrow x = log _ 2 \frac {1}{5}[/tex]
При [tex]a \ne 0 \Rightarrow D = 25-4a[/tex]
Двукратен корен има при [tex]D=0 ; a = \frac {25}{4}[/tex]
При двукратен корен, [tex]x^2 = \frac {c}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac {1}{a} >0 \Rightarrow a>0[/tex]

[Гост]

Благодаря много!