1.12.Г Докажете неравенството

[Людмил]

1.12.Г.jpg (4.78 KiB) Прегледано 1300 пъти

[Knowledge Greedy]

Метод на пълната математическа индукция (МПМИ)
Доказателството се основава на теорема (МПМИ) с две условия, второто от които е също
с формата на импликация - каквато е формулировката на всяко твърдение, от верността на което се интересуваме.

I. База - проверка на доказваното твърдение за една стойност на променливата [tex]n[/tex].
Ако [tex]n=5[/tex], неравенството [tex]2^n>n^2[/tex] приема вида [tex]2^5>5^2[/tex] - вярно!

II. Индукционен преход
Приемаме, че за някое [tex]n[/tex], примерно [tex]n=k[/tex], [tex]k \ge 5[/tex], твърдението [tex]2^k>k^2[/tex] е вярно.
(Основание за това имаме. Проверихме случая [tex]k=5[/tex].)
Ще докажем, че твърдението [tex]2^n>n^2[/tex] е вярно за [tex]n=k+1[/tex], т.е. и
[tex]2^{k+1}>{k+1}^2[/tex]
е вярно.

За целта умножаваме по [tex]2[/tex] двете страни на вярното равенство [tex]2^k>k^2[/tex]
Получаваме [tex]2^{k+1}>2k^2[/tex]
Сега е достатъчно да се убедим, че дясната страна [tex]2k^2>(k+1)^2[/tex] - дясната страна на исканото неравенство.
Да проследим редицата от следствия.
[tex]k \ge 5 \,\ \Rightarrow \,\ k-1 \ge 4 \,\ \Rightarrow \,\ (k-1)^2 \ge 16>2 \,\ \Rightarrow \,\ k^2-2k+1>2 \,\ \Rightarrow \,\ 2k^2>k^2+2k+1[/tex]
- това, което трябваше да докажем.

Съгласно МПМИ двата резултата [tex]I.[/tex] и [tex]II.[/tex] показват, че твърдението [tex]2^n>n^2[/tex] е вярно
за всяко естествено [tex]n \ge 5[/tex]