1/ДЗ/4 Докажете неравенството

[Людмил]

1.ДЗ.4.jpg (10 KiB) Прегледано 1331 пъти

[KOPMOPAH]

Щом$$a\ge 0, b\ge 0,c\ge 0,$$значи $$\exists~~ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c.$$Започваме от $$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2+\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2+\left(\sqrt c-\sqrt a\right)^2\ge 0,$$след разкриване на скобките получаваме$$a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ac}+a\ge 0$$ $$2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$$Остана да разделим двете страни на последното неравенство на $2$ и готово!

[Nathi123]

a[tex]\ge0 ;b \ge 0;c \ge0 \Rightarrow \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} ; \frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac} ; \frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}[/tex].Събираме почленно трите неравенства и получаваме, че
2([tex]\frac{a+b+c}{2}) \ge \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ac} \Leftrightarrow a+b+c \ge \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ac}[/tex].