Да се докаже

[Matty_23]

Здравейте, как може да се реши следната интересна, но трудна за мен задача:
Да се докаже, че ако x+y+z=0, то (x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)=8x^2y^2z^2+(xy+yz+zx)^3

[Румен Симеонов]

Вие кое считате за трудно - по-сложничките разсъждения или дългите, но не много сложни сметки?

[Евва]

Може би ще ни потрябва [tex](x+y+z) ^{3 }[/tex] = 0
(x+y+z)([tex]x^{2 }+ y^{2 }+z^{2}[/tex]+2xy+2xz+2yz) =0
Разкриваме скобите и получаваме 3([tex]x^{2 }[/tex]y+[tex]x^{2 }[/tex]z+x[tex]y^{2 }[/tex]+[tex]y^{2 }[/tex]z+x[tex]z^{2 }[/tex]+y[tex]z^{2 }[/tex]) = -([tex]x^{3 }+y^{3}+z^{3}[/tex]) -6xyz (1)

Развиваме дясната страна на тъждеството (което трябва да докажем) и получаваме :
14[tex]x^{2 } y^{2 } z^{2 }[/tex] +([tex]x^{3 } y^{3 } + x^{3 } z^{3 } + y^{3 } z^{3 }[/tex]) +3xyz( [tex]x^{2 }y+ x^{2 }z+ y^{2 }z+x y^{2 }+x z^{2 }+y z^{2 } )[/tex]

Разкриваме скобите в лявата страна на тъждеството и получаваме:
2[tex]x^{2 } y^{2}z^{2} +( x^{3 }y^{3 } + x^{3 }z^{3 } + y^{3 } z^{3 }[/tex]) +xyz( [tex]x^{3 }+ y^{3 } + z^{3 }[/tex] )

Приравняваме лява и дясна страна , правим възможните съкращения и получаваме :
xyz( [tex]x^{3 } +y^{3 } +z^{3}[/tex] )= ? 12[tex]x^{2 } y^{2 } z^{2 }[/tex] +xyz .3( [tex]x^{2 }y+ x^{2 }z+ y^{2 }z+x y^{2 }+x z^{2 }+y z^{2 }[/tex] ) ползваме (1)

xyz([tex]x^{3 } + y^{3 } + z^{3 }[/tex]) =? 12[tex]x^{2 } y^{2 } z^{2 }[/tex] +xyz( -[tex]x^{3 }- y^{3 } - z^{3 }[/tex]-6xyz ) |: xyz[tex]\ne[/tex]0
[tex]x^{3 }+ y^{3 } + z^{3 }[/tex] =? 12xyz -[tex]x^{3 }- y^{3 }- z^{3 }[/tex]-6xyz |:2[tex]\ne[/tex]0

Трябва да докажем тъждеството [tex]x^{3 } + y^{3 }+ z^{3 }[/tex] =? 3xyz

Дадено е z = -x-y [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{3 }+ y^{3 } - x^{3 } -3 x^{2 }y -3x y^{2 } - y^{3 }[/tex] = ? 3xy( -x-y )

-3[tex]x^{2 }y-3x y^{2 }[/tex] =? [tex]-3x^{2 }y -3x y^{2 }[/tex]
Очевидно последният ред е тъждество .

[Matty_23]

Много благодаря за подробното решение, определено се затруднявах сама първо откъде да започна и се губех в сметките. Поздрави!