Параметрично дробно неравенство

[Гост]

Моля за помощ за следната задача !

Намерете стойностите на реалния параметър "а", за който неравенството [tex]\frac{ x^{2 } +ах-1}{2 x^{2 } -2х+3}[/tex] < 1
е изпълнено за всяка реална стойност на "х"

[ammornil]

[tex]\frac{x^{2}+ax-1}{2x^{2}-2x+3}<1 \\ \text{ДМ: } 2x^{2}-2x+3\ne 0 \rightarrow \begin{cases} D<0 \\ 2>0 \end{cases} \hspace{2em} \Rightarrow 2x^{2}-2x+3> 0, \hspace{0.6em} \forall{x} \in \mathbb{R} \\ \phantom{q} \\ \frac{x^{2}+ax-1}{2x^{2}-2x+3}-1<0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+ax-1-(2x^{2}-2x+3)}{2x^{2}-2x+3}<0 \Leftrightarrow \frac{-x^{2}+(a+2)x-4}{2x^{2}-2x+3}<0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-(a+2)x+4}{2x^{2}-2x+3}>0 \\ \phantom{q} \\ \begin{aligned} 2x^{2}-2x+3>0 & \Rightarrow & x^{2}-(a+2)x+4>0 & \Rightarrow \\ & & & (a+2)^{2}-4\cdot 1\cdot 4<0 \\ & & & (a+2)^{2}-4^{2}<0 \\ & & & (a+2-4)(a+2+4)<0 \\ & & & (a-2)(a+6)<0 \\ & & & & \Rightarrow \end{aligned}[/tex]$$ a \in (-6;2) $$

[KOPMOPAH]

Разглеждаме знаменателя $2x^2-2x+3$. Неговата дискриманта $D=4-4.2.3=-20<0$. Коефициентът пред $x^2$ е положителен, следователно $2x^2-2x+3~~ \forall x \in \mathbb{R}$

След като знаменателят е строго положителен, можем с чиста съвест да умножим двете страни на неравенството с него и след преобразуване да получим:

$~~~~x^2-(a+2)x+4>0$

За да бъде и това неравенство в сила за $\forall x \in \mathbb{R}$ е необходимо и тази дискриминанта да е отрицателна, т.е.

$~~~~(a+2)^2-4.4>0 \Leftrightarrow a^2+4a-12<0$

Последното неравенство е отрицателно при $ a \in (-6,2)$, което е и отговор на задачата.

Скрит текст: покажи

И да има техническа грешка, идеята на решаването е ясна

[Гост]

Огромни благодарности!