Параметрични задачи

[Гост]

Добър ден, бихте ли помогнали с тези две задачи?

1) За коя стойност на параметъра к неравенството има за решение всяко число?

к[tex]x^{2 }[/tex] - 2(к-1)х + 7к- 3 > 0

2) За коя стойност на параметъра к, корените на уравнението са отрицателни числа?

(к-2)[tex]x^{2 }[/tex] - (3к+6)х + 6к=0

[ammornil]

1) За коя стойност на параметъра к неравенството има за решение всяко число?
к[tex]x^{2 }[/tex] - 2(к-1)х + 7к- 3 > 0

$$ ax^{2}+bx+c > 0 \quad \forall{x}\in\mathbb{R} \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ D < 0 \end{array} $$

Скрит текст: покажи

[tex]kx^{2}-2(k-1)x+7k-3>0 \\ D=(k-1)^{2}-1\cdot{k}\cdot{}(7k-3)=k^{2}-2k+1-7k^{2}+3k=-6k^{2}+k+1 \\ \begin{array}{|l} k>0 \\ -6k^{2}+k+1<0 \end{array} \\ \quad -6k^{2}+k+1<0 \Leftrightarrow 6k^{2}-k-1>0 \quad \rightarrow k_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot{6}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}=\frac{1\pm5}{2} \\ \begin{array}{|l} k \in (0; +\infty) \\ k \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\end{array}\Rightarrow[/tex]$$ k \in (3; +\infty) $$

2) За коя стойност на параметъра к, корените на уравнението са отрицателни числа?
(к-2)[tex]x^{2 }[/tex] - (3к+6)х + 6к=0

$$ ax^{2}+bx+c=0 \quad \exists(x_{1}\le{x_{2}}<0) \Rightarrow \begin{array}{|l} D\ge0 \\x_{1}+x_{2}<0 \\ x_{1}\cdot{x_{2}}>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} D\ge0 \\ -\frac{b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array} $$[tex][/tex]