Метод на интервалите

[strangerforever]

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 1,001 > 0

Да се реши с метод на интервалите. Подчертавам, че ЗНАМ, че задачата е елементарна и знам, че е очевидно в случая, че всяко x e решение, просто ми е интересно как се постъпва, когато неравенството е в такъв вид. Въпросът ми не е конкретно за тази задача, а по принцип как се постъпва, когато неравенството е в ТАКЪВ вид или по-просто казано "Как ще приложим метода на интервалите?". Знам, че въпросът може да се стори много лесен на някои хора. Благодаря предварително.

[mkmarinov]

И ОЧЕВИДНО в случая не може да се реши с метод на интервалите.

[martin123456]

Лявата страна е полином от 4та степен. За да използваме метода на интервалите трябва да намерим корените на полинома вляво. Но той е от 4та степен и това не винаги е възможно. Затова мислим за хитрост - полагане.
Забелязваме, че [tex](x-1)(x-4)=x^2-5x+4[/tex] и [tex](x-2)(x-3)=x^2-5x+6[/tex] и полагаме например средно аритметичното им (което пак е известен трик), т.е. [tex]y=\frac{x^2-5x+4+x^2-5x+6}{2}=x^2-5x+5[/tex]. Тогава неравенството става [tex](y-1)(y+1)+1.001>0 \Leftrightarrow y^2-1+1.001>0 \Leftrightarrow y^2+0.001>0[/tex]. Последното е вярно [tex]\forall y[/tex].

п.с. само да отбележа една подробност. Получихме че за всяко y имаме решение. По-точно за всяко y, което е представимо във вида [tex]x^2-5x+6[/tex] и тъй като става дума за реални числа [tex]\Leftrightarrow[/tex] за всяко y от множеството от стойнсоти на [tex]x^2-5x+6[/tex], което тъй като [tex]x^2-5x+6=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4} \ge -\frac{1}{4}[/tex] е [tex][-\frac{1}{4},+\infty)[/tex]