Неравенство

[Гост]

Да се докаже, че за произволни положителни числа a,b и c е в сила:
[tex]a^{a }[/tex]*[tex]b^{b }[/tex]*[tex]c^{c } \ge (abc)^{( \frac{a+b+c}{3} ) }[/tex]

[ammornil]

Да се докаже, че за произволни положителни числа a,b и c е в сила:
[tex]a^{a }[/tex]*[tex]b^{b }[/tex]*[tex]c^{c } \ge (abc)^{( \frac{a+b+c}{3} ) }[/tex]

$\\[12pt] \ln{\left(a^{a}\cdot{}b^{b}\cdot{}c^{c} \right)} \ge \ln{\left((abc)^{\dfrac{a+b+c}{3}}\right)} \\[6pt] \boxed{a\ln{a} +b\ln{b} +c\ln{c} \geq \dfrac{a+b+c}{3}\cdot{}\left(\ln{a} +\ln{b} +\ln{c} \right)} \\[24pt] \text{Чебишев}: \quad \because{} \begin{cases} a\leq{b}\leq{c} \\ \ln{a}\leq{\ln{b}}\leq{\ln{c}} \end{cases} \Rightarrow \quad \dfrac{a\ln{a}\cdot{}b\ln{b}\cdot{}c\ln{c}}{3} \geq{} \dfrac{a+b+c}{3}\cdot{}\dfrac{ \ln{a} +\ln{b} +\ln{c}}{3} \\[6pt] $Ако умножите двете страни по $3$ се получава точно исканото по-горе.$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

Специални неравенства-№10 Неравенство на Чебишев$\\[6pt]$Става дума за неравенство за суми на Чебишев, а не теорема на Чебишев в Теория на вероятностите. Неравенството гласи, че за две еднакво дълги и еднакво подредени по големина числови редици (подредбата може да е възходяща или низходяща) средно-аритметичното на сбора от произведенията на съответните членове на редиците е не по-малък произведението от средно-аритметичните стойности на двете редици. Равенство се достига, когато всички членове на първата редица са равни помежду си и всички членове на втората редица са равни помежду си.$\\[12pt]$

Screenshot 2026-06-12 003248.png (11.22 KiB) Прегледано 26 пъти

[Гост]

Неравенство-page-001.jpg (96.38 KiB) Прегледано 16 пъти

[Гост]

Евала!