Ирационално неравенство

[skidrow]

Ето едно интересно неравенство по което имам питане:

[tex]\frac{4}{5 - \sqrt{x} }[/tex] ≥ 1 + [tex]\sqrt{x}[/tex] ,

стигам до случая в който разглеждам дясната страна в два подслучая - при c>1 и c<1 от теорията. Дали има нещо вярно в твърдението ми ?
Благодаря!

[b1ck0]

След като прехвърлиш в ляво и извършиш действията се получава:
[tex]{\frac {1+4\,\sqrt {x}-x}{-5+\sqrt {x}}} \le 0[/tex], откъдето:

1.
[tex]1+4\,\sqrt {x}-x \le 0[/tex]
[tex]-5+\sqrt {x} > 0[/tex]

и накрая за отговор получаваш: [tex]x \in \left[ 9+4 \sqrt{5}; 25 \right)[/tex]

[ganka simeonova]

След като прехвърлиш в ляво и извършиш действията се получава:
[tex]{\frac {1+4\,\sqrt {x}-x}{-5+\sqrt {x}}} \le 0[/tex], откъдето:

1.
[tex]1+4\,\sqrt {x}-x \le 0[/tex]
[tex]-5+\sqrt {x} > 0[/tex]

и накрая за отговор получаваш: [tex]x \in \left[ 9+4 \sqrt{5}; 25 \right)[/tex]

2 случай няма ли, според теб?

[ganka simeonova]

Най- добре е да се положи [tex]t=\sqrt{x}\ge 0[/tex] и като за начало да се реши като дробно- рационално неравенство.

[b1ck0]

След като прехвърлиш в ляво и извършиш действията се получава:
[tex]{\frac {1+4\,\sqrt {x}-x}{-5+\sqrt {x}}} \le 0[/tex], откъдето:

1.
[tex]1+4\,\sqrt {x}-x \le 0[/tex]
[tex]-5+\sqrt {x} > 0[/tex]

и накрая за отговор получаваш: [tex]x \in \left[ 9+4 \sqrt{5}; 25 \right)[/tex]

2 случай няма ли, според теб?

Затова съм написал 1. .... Но според мен втория случай "не играе" ...

[M_Velinova]

[tex]\frac{4}{5 - \sqrt{x} }[/tex] ≥ 1 + [tex]\sqrt{x}[/tex]
Нека да започнем както се полага за едно дробно ирационално неравенство:
[tex]x\ge 0[/tex]
[tex]x\ne 25[/tex]
и понеже [tex]1+\sqrt{x}>0[/tex], то и [tex]5-\sqrt{x}>0[/tex]
Следователно допустимите стойности за [tex]x[/tex] са: [tex]x\in [0;25)[/tex]
Сега спокойно можем да освободим от знаменателя, защото той е положителен и решаваме:
[tex]x-4\sqrt{x}-1\ge 0[/tex]
Ясно е как.
И решението е еднозначно определено [tex]x\in [9+4\sqrt{5} ; 25)[/tex]

[b1ck0]

По принцип не е много добре да се насажда идеята за "освобождаване" от знаменател при неравенствата.

[MathLudak]

[tex]x\in [9+4\sqrt{5} ; 25)[/tex]

[WEBER]

По принцип не е много добре да се насажда идеята за "освобождаване" от знаменател при неравенствата.

По принцип въобще не трябва да се освобождава от знаменател при неравенства.
По принцип...