Неравенството sin^2(x) < x^2

[drago_prd]

Някой може ли да ми даде повече информация за следното неравенство:
[tex]sin^2{x} < x^2[/tex].

• доказателсто;
• задачи, в които намира приложение;
• и учи ли се то в профилираната подготовка по Математика?

[naitsirk]

Учи се само че май е по известно като
[tex]sinx \le |x|[/tex].
Доказва се сравнително лесно.
За [tex]x \ge 0[/tex] трябва да докажем [tex]sinx\le x[/tex] или [tex]sinx-x \le 0[/tex].
Разглеждаме [tex]f(x)=sinx-x[/tex], [tex]f'=cosx-1<0[/tex] => функцията е намаляваща => [tex]f(x)=sinx-x \le f(0)=0[/tex]. Аналогично се разглежда и случаят за х<0

[mkmarinov]

Ако не знаеш, че [tex]|sinx| \le |x|[/tex], как ще намериш производната?!
На единичната окръжност x е дъгата (с начало, лежащо на абцисата), а sinx - разстоянието от другия връх на дъгата до абцисата. Което разстояние е катет в правоъгълен триъгълник, по-малко от хипотенузата, която е отсечка на дъга и е по-малка от дъгата.
Използване - нужно е за да се докаже границата [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1[/tex]