Задача x^4 - 2(m - 1)x^2 - 4m > 0

[abv123]

Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които всяко реално х е решение на неравенството

x^4 - 2(m - 1)x^2 - 4m > 0

[martosss]

Полагаш [tex]x^2=t\ge 0[/tex], неравенството се трансформира в [tex]t^2-2(m-1)t-4m>0[/tex]
Като решиш това неравенство, решенията трябва да включват интервала [tex]0,\: +\infty )[/tex].
Нека го решим, имаме [tex]D=m^2-2m+1+4m=(m+1)^2\ge 0[/tex] за всяко m => корените са
[tex]x_{1,2}=m-1\pm (m+1)[/tex].
[tex]x_1=2m[/tex]
[tex]x_2=-2[/tex]
Сега ако 2m≤-2 решенията са [tex](-\infty\: ;\: 2m]\cup (-2\: ;\: +\infty)[/tex],
ако пък -2<2m решенията са [tex]\: (-\infty\: ;\: -2)\cup (2m\: ;\: +\infty)[/tex]
Първият случай те удовлетворява, тоест 2m≤-2 те удовлетворява напълно, тоест всяко m≤-1 е решение.
Вторият случай те удовлетворява само ако 2m<0, тоест m<0.
Като ги обединиш получаваш m<0, което би трябвало да е крайният отговор.

[MasterZ]

Марто се завърна

[abv123]

Сега ако 2m≤-2 решенията са [tex](-\infty\: ;\: 2m]\cup (-2\: ;\: +\infty)[/tex],
ако пък -2<2m решенията са [tex]\: (-\infty\: ;\: -2)\cup (2m\: ;\: +\infty)[/tex]
Първият случай те удовлетворява, тоест 2m≤-2 те удовлетворява напълно, тоест всяко m≤-1 е решение.
Вторият случай те удовлетворява само ако 2m<0, тоест m<0.
Като ги обединиш получаваш m<0, което би трябвало да е крайният отговор.

А става ли просто да се каже че щом Д>=0 за всяко m трябва t1 и t2 да са по малки от нула. И тъй като t2<0 за всяко m,
отговора е t1=2m<0 => m<0

[strangerforever]

Сега ако 2m≤-2 решенията са [tex](-\infty\: ;\: 2m]\cup (-2\: ;\: +\infty)[/tex],
ако пък -2<2m решенията са [tex]\: (-\infty\: ;\: -2)\cup (2m\: ;\: +\infty)[/tex]
Първият случай те удовлетворява, тоест 2m≤-2 те удовлетворява напълно, тоест всяко m≤-1 е решение.
Вторият случай те удовлетворява само ако 2m<0, тоест m<0.
Като ги обединиш получаваш m<0, което би трябвало да е крайният отговор.

А става ли просто да се каже че щом Д>=0 за всяко m трябва t1 и t2 да са по малки от нула. И тъй като t2<0 за всяко m,
отговора е t1=2m<0 => m<0

Да.