Неравенство с косинуси

[drago_prd]

Тази задача ме затрудни..
Да се докаже, че неравенството е в сила за всяко х.
[tex]|\cos{x}|+|cos{2x}| \geq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[martin123456]

[tex]\cos{2x}=2\cos^2{x}-1[/tex]
косинус е периодична с период [tex]2\pi[/tex] значи можем да рдазгледаме неравнеството в интервала [tex]x \in [0, 2\pi)[/tex].
модулите се анулират за [tex]x=\frac{\pi}{2},\hspace{2mm}\frac{3\pi}{2},\hspace{2mm}\frac{\pi}{4},\hspace{2mm}\frac{3\pi}{4},\hspace{2mm}\frac{5\pi}{4},\hspace{2mm}\frac{7\pi}{4}[/tex]. като се подредял по големина...аз ще докажа неравенството само за един интервал, а за другите предполагам е аналогично. например за интервала [tex]x \in [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}][/tex]. там [tex]|\cos{x}|=\cos{x}[/tex], [tex]|\cos{2x}|=|2\cos^2{x}-1|=1-2\cos^2{x}[/tex]. неравенството ставан [tex]\cos{x}-2\cos^2{x}+1 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]<=>[tex]2\sqrt{2}\cos^2{x}-\sqrt{2}\cos{x}-\sqrt{2}+1 \leq 0[/tex]. [tex]D=2-8\sqrt{2}(1-\sqrt{2})=18-8\sqrt{2} >0[/tex]. значи има два реални корена. разглеждаме функцията [tex]2\sqrt{2}t^2-\sqrt{2}t+1-\sqrt{2}[/tex]. трябва да докажем че в интервала [tex][0, \frac{1}{\.sqrt{2}}][/tex] тя е неположителна, т.е. че краищата на този интервал са между корените. [tex]f(0)<0[/tex], [tex]f(\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}-1+1-\sqrt{2}=0[/tex]