Неравенство с параметър за всяко х

[v1rusman]

зад. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]p[/tex], за които неравенството

[tex]x^2+px-sinx \ge 0[/tex]

е изпълнено за всяко [tex]x[/tex].

Единственото решение, което аз се сещам, е с граници. Ще ми е интересно, ако някой открие друг метод за решение.

[mkmarinov]

Записваме неравенството във вида:
[tex]x^2+px \ge sinx[/tex]
Обозначаваме лявата страна с f(x), дясната - с g(x).
При х=0 имаме равенство. Ако в една точка [tex]f(x_0)=g(x_0)[/tex] и [tex]f'(x) \ge g'(x)[/tex] за всяко [tex]x \ge x_0[/tex], то неравенството е изпълнено. Оттук получаваме, че всяко [tex]p \ge 1[/tex] може да е решение. Също и че никое х, по-малко от 1, не може да е решение. Остава да се докаже, че наистина всяко р >= 1 е решение (лесно).

[v1rusman]

Може ли малко по-подробно да го обясниш, защото не успях да го разбера. Лесното доказателство също не го схванах.

[mkmarinov]

Ако в една точка две функции имат равни стойности и след тази точка едната винаги расте по-бързо от другата (или намалява по-бавно), то тя ще е по-голяма. Обратното също е интуитивно. Ако расте по-бавно в определена точка, но след това я "задминава" (в този случай е очевидно - едната расте неограничено, а другата е ограничена), то определено ще я пресича.
Но за това, че всяко р >= 1 е решение съм избързал.
Нека изследваме функцията [tex]h(x)=x^2+px-sinx[/tex]
[tex]h'(x)=2x+p-cosx[/tex]
[tex]h''(x)=2+sinx>0[/tex] => h'(x) има единствен реален корен (+Болцано).
Т.е. h(x) има единствен есктремум. Че е минимум е ясно. Искаме този минимум да е >= 0. От друга страна, знаем точка, в която тази функция винаги е 0, т.е. този минимум е <= 0, т.е. той е 0 и се постига при х=0 (т.к. функцията има само 1 минимум). Т.е. трябва [tex]h'(0)=0 <=> p=1[/tex].