Показателно модулно неравенство

[skidrow]

Здравейте! Бихте ли дали идея по следното неравенство:

[tex]2^{x} + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2} ?[/tex]

Благодаря!

[strangerforever]

Стандартен метод:

[tex]y = 2^x \ge 0[/tex]


[tex]x >= 0 <=> y \in [1;+\infty)[/tex]
[tex]2y \ge 2\sqrt{2}[/tex]
[tex]y \ge \sqrt{2}[/tex]
[tex]2^{x} \ge \sqrt{2}[/tex]
[tex]x \ge \frac{1}{2}[/tex]

Пресичане: [tex]x \ge \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x < 0 <=> y \in (0;1)[/tex]

[tex]2^x + \frac{1}{2^x} \ge 2\sqrt{2}[/tex]
[tex]y^2 + 1 - 2\sqrt{2}y \ge 0[/tex]
[tex]y \in (-\infty; (\sqrt{2} - 1)] \cup [(\sqrt{2} + 1); +\infty)[/tex]

Обаче понеже [tex]y \in (0;1)[/tex] остава само:

[tex]y \in [0;(\sqrt{2} - 1)][/tex]
[tex]<=>[/tex]
[tex]y >= 0[/tex] -> винаги вярно
[tex]y \le \sqrt{2} - 1[/tex]

[tex]2^x \le \sqrt{2} - 1[/tex]
[tex]x \le log_2(sqrt{2} - 1)[/tex]

Обединение на 2та случая:

[tex]x \in (-\infty; log_2(sqrt{2} - 1)] \cup [\frac{1}{2};+\infty)[/tex]

[skidrow]

Така си и мислех, благодаря!