Много трудна задачка

[maria o96]

Ето я и задачката:
Нека х и у са положителни числа, така че х на трета + у на трета = 4ху.
а) Да се докаже, че х+у е оп-малко или равно на 4
б) Да се докаже, че х на втора + у на втора е по-малко или равно на 8

Междо другото тя е от олимпиада за 8 клас
Моля който може да ми помогне

[Гост]

[tex]x,y>0,\hspace{2mm}x^3+y^3=4xy[/tex]
a)
[tex]4xy=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy)\ge(x+y)(4xy-3xy)=(x+y)xy\Rightarrow x+y\le 4[/tex]
б)
[tex](x^2+y^2)(x+y)=x^3+y^3+x^2y+y^2x=4xy+x^2y+y^2x=xy(4+x+y)\le 4(4+x+y)=16+4(x+y)\le (x+y)^2+4(x+y)[/tex]
[tex]\Rightarrow (x+y)^2+(x+y)(4-x^2-y^2)\ge 0 \Rightarrow (x+y)(x+y+4-x^2-y^2)\ge 0\Rightarrow x^2+y^2\le x+y+4\le 8[/tex].