Неравенство |a.c + b.d| < 1

[0xdeadbeef]

Докажете, че [tex]|a.c + b.d| \le 1[/tex], ако [tex]a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1[/tex]

[inveidar]

Нека [tex]\vec{m}(a,b)[/tex] и [tex]\vec{n}(c,d)[/tex]. Скаларното произведение [tex]\vec{m}.\vec{n}=a.c+b.d=|\vec{m}|.|\vec{n}|.cos\varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между векторите. Но [tex]|\vec{m}|=a^{2}+b^{2}=1,[/tex][tex]|\vec{n}|=c^{2}+b^{2}=1,cos\varphi \in [-1;1][/tex], т.е [tex]a.c+b.d\in [-1;1][/tex].

[portokal]

пробвай с тригонометрия
стойностите на a b c и d са от -1 до 1 това значи че можеш да ги представиш с тригонометричните функции синус и косинус

[mkmarinov]

Да отбележа, че това е точно Неравенството на Коши:
[tex]|ac+bd| \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}[/tex]

[inveidar]

Нека [tex]\vec{m}(a,b)[/tex] и [tex]\vec{n}(c,d)[/tex]. Скаларното произведение [tex]\vec{m}.\vec{n}=a.c+b.d=|\vec{m}|.|\vec{n}|.cos\varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между векторите. Но [tex]|\vec{m}|=a^{2}+b^{2}=1,[/tex][tex]|\vec{n}|=c^{2}+b^{2}=1,cos\varphi \in [-1;1][/tex], т.е [tex]a.c+b.d\in [-1;1][/tex].

А аз да отбележа, че съм изпуснал по един корен квадратен при дължините на векторите, но това не променя резултата!