Модулно неравенство

[0xdeadbeef]

Докажете, че [tex]|b^2 -4ac| \ge 4[/tex], ако неравенството [tex]|ax^2 + bx + c| \ge |x^2 - 1|[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

[pipi langstrump]

Нека първо D≤ 0, тогава като развием модулите получаваме че D≤ -4
Нека сега D≥0. Ако допуснем, че корените на лявото квадратно уравнение са различни от 1 и - 1 ще получим 0≥ |x1^2 - 1|, където x1 е един корен на лявото ур., което е невъзможно. Значи корените са +-1.От виет имаме b = 0, c = -a Неравенството става |a||x^2 -1|≥|x^2 - 1|, значи |a|≥1. Сега D = b^2 - 4ac = 4a^2≥4, значи D≥4. Като обединим двете става|D|≥4.

Между другото от решението се вижда, че при x = +-1 неравенството |D|≥4 не е задължително да бъде изпълнено. Например ако вземем a = b = c = 0, тогава D =0 и не е по-голяма по модул от 4, но все пак неравенството има решение x = +-1. Условието е грешно.

[pipi langstrump]

Упс, ама то трябва да е за всяко х, значи условието си е вярно.обърквация.

Защо не мога да си променя мнението"?

[MathLudak]

Ами то си е така - няма какво да доказваш.
Пробваш с индукция и ако стане пишеш правилно!