Модулно неравенство

[andrea_doll]

Стигам до някъде и после не мога да се оправя с x на трета.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]x^3-x^2-4x-38<-42[/tex]
[tex]42<x^3-x^2-4x-38[/tex]

[andrea_doll]

Да, това го правя, но не мога нататък.

[strangerforever]

[tex]x^3 - x^2 - 4x - 80 = (x-5)(x^2 + 4x + 16)[/tex]

[tex]x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x-1)(x+2)(x-2)[/tex]

[inveidar]

[tex]|x^{3}-x^{2}-4x-38|>42 \Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-4x-38>42[/tex] или [tex]x^{3}-x^{2}-4x-38<-42[/tex].
За първото неравенство: Прехвърляш всичко от ляво и получаваш [tex]x^{3}-x^{2}-4x-80>0[/tex]. Сега трябва да разложиш лявата страна на множители. Използвай схемата на Хорнер. Знаеш ли я? След това прилагаш метода на интервалите. Аналогично постъпваш и с второто неравенство.

[andrea_doll]

Не мога да работя със схемата на Хорнер, така и така не можах да я разбера....

[andrea_doll]

[tex]x^3 - x^2 - 4x - 80 = (x-5)(x^2 + 4x + 16)[/tex]

[tex]x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x-1)(x+2)(x-2)[/tex]

Това как стана така? С Хорнер ли? Друг начин има ли? Опитах се да разложа на множители, но явно не става тук, освен със схемата на Хорнер.

[strangerforever]

На второто можеш да откриеш, че 1 е корен наум и да разложиш по метода на неопределените коефициенти, но Хорнер е по-подходящ метод. Схемата на Хорнер е най-подходящият метод тук, научи го, защото е полезно.

[andrea_doll]

Опитвам се ама явно съм глупавка и не я разбирам тая схема. Няма значение. Сега да питам пак нещо свързано с модулните неравенства. Четох, че има случаи, в които могат да се решават чрез повдигане на 2-те страни на квадрат, ако сме сигурни, че те са неотрицателни.

[Mr.G{}{}Fy]

Опитвам се ама явно съм глупавка и не я разбирам тая схема. Няма значение. Сега да питам пак нещо свързано с модулните неравенства. Четох, че има случаи, в които могат да се решават чрез повдигане на 2-те страни на квадрат, ако сме сигурни, че те са неотрицателни.

Ако учиш схемата на Хорнер от учебник може би ще се затрудниш доста ... Поне аз нищо не чаткам от тия работи в учебника .. буквички ... цифрички ... Затова питай или учителка,или ако не ще се отзовем ние

[andrea_doll]

Ами май вие трябва да се отзовете, защото нямам достъп до учители. Попринцип сама се опитвам да разбирам нещата, но ако са обяснени добре. Четох в интернет за схемата на Хорнер. То не бяха таблици, схеми, показни, това умножавам по това, после изваждам нещо и в крайна сметка не разбрах.

[Mr.G{}{}Fy]

Ами май вие трябва да се отзовете, защото нямам достъп до учители. Попринцип сама се опитвам да разбирам нещата, но ако са обяснени добре. Четох в интернет за схемата на Хорнер. То не бяха таблици, схеми, показни, това умножавам по това, после изваждам нещо и в крайна сметка не разбрах.

Ще видя тези дни,ако имам време ще се пробвам да помогна... Лошото е,че съм скаран с тези компютърни програми и работя адски тромаво с тях

[niai]

[tex]x^3 - x^2 - 4x - 80 = (x-5)(x^2 + 4x + 16)[/tex]

[tex]x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x-1)(x+2)(x-2)[/tex]

Това как стана така? С Хорнер ли? Друг начин има ли? Опитах се да разложа на множители, но явно не става тук, освен със схемата на Хорнер.

Аз съм я забравила схемата на Хорнер, но не ми пречи, особено ако коефициентът пред старшия член (в случая трета степен) е единица. В този случай всички корени на полинома са делители на свободния член. Смятам на ум обикновено, +-1, +-2 (ако е делител) и т.н. В първия случай, за x=5 става, 125-25-20-80=0. Значи 5 е корен, следователно трябва да можеш да извадиш x-5 пред скоби. Сметката върви и без делене на полиноми (същото е като резултат), изглежда така:
[tex]x^{3}-5x^{2}+4x^{2}-20x+16x-80 = x^{2}(x-5)+4x(x-5)+16(x-5)[/tex]
Просто тръгваш от най-високата степен на x; имам [tex]x^{3}[/tex], а ми трябва [tex]x[/tex]; значи ще вадя пред скоби [tex]x^{2}[/tex]; искам обаче и [tex]-5[/tex],значи ми трябва и [tex]-5x^{2}[/tex], за да се получи x-5, пиша си го, след това гледам какво трябва да добавя/извадя, за да не променя полинома, и действам с полученото по същия начин.
Ако старшият коефициент не е 1, корени на уравнението могат да бъдат рационални числа, чийто числител е делител на свободния член, а знаменател - делител на старшия коефициент. Ако няма цели корени, става по-трудно за смятане. Но почти винаги има поне един цял корен.

[prodanov]

Ще видя тези дни,ако имам време ще се пробвам да помогна... Лошото е,че съм скаран с тези компютърни програми и работя адски тромаво с тях

Ша ти ударя едно рамо.

[tex]x^3-x^2-4x+4=0[/tex]

##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |   1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |     |     |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1  |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |

Ти си с теорията.

[amsara]

Във втория пример специално разлагането става елементарно и с познания на седмокласник - без схема на Хорнер, без метод на неопределени коефициенти.
x^3-x^2-4x+4= x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)

[Mr.G{}{}Fy]

Ще видя тези дни,ако имам време ще се пробвам да помогна... Лошото е,че съм скаран с тези компютърни програми и работя адски тромаво с тях

Ша ти ударя едно рамо.

[tex]x^3-x^2-4x+4=0[/tex]

##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |   1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |     |     |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1  |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |

Ти си с теорията.

Огромни благодарности . Довечера ще го обясня.Само да попитам,Андреа дол, знаеш ли теоремата на Безу? Въпросът ми е дали знаеш,ако търсиш решения в рационални числа имаш ли представа,ако хванеш уравнение от по-висока степен кои числа трябва да пробваш?

[Mr.G{}{}Fy]

Във втория пример специално разлагането става елементарно и с познания на седмокласник - без схема на Хорнер, без метод на неопределени коефициенти.
x^3-x^2-4x+4= x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)

Ясно е,че става без него,но ако задачата е по-трудна-тогава с Хорнер става доста по-лесно? Т.е. Ние искаме да обясним точно схемата на Хорнер.Точно за това и Проданов даде по-лесен пример,за да са лесни числата.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]x^3-x^2-4x+4=0[/tex]

##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |   1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |     |     |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1  |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |

Това е въпросната таблица на Хорнер... Или схема,или метод,или теорема ... кой както му падне го нарича
Нека видим от коя степен е уравнението .Ясно е,че е от 3-та степен,защото това е и най-високата степен (в случая).
В тази таблица тези горните числа[tex](1,-1,-4,4)[/tex] са коефицентите пред съответните степени като започнем от коефициента пред най-голямата степен и стигнем до коефициента до най-малката.
Коефициентът пред [tex]x^3[/tex]е [tex]1[/tex],пред [tex]x^2[/tex] е [tex]-1[/tex],пред [tex]x^1[/tex] е [tex]-4[/tex],и пред [tex]x^0[/tex] е [tex]4[/tex].Последното число(т.нар. свободен член) можем да представим като [tex]4.x^0[/tex],тъй като [tex]x^0=1[/tex] и от там [tex]4.1=4[/tex]
Чертаем си таблица (предполагам,че знаеш какво представлява просто не разбираш къде какво да пишеш) и нанасяме коефициентите съответно в първото поле(най-отгоре) коефициентът пред най-голямата степен т.е. в случая [tex]1[/tex] ,после във второто на степента,която е с 1 по-малка от най-голямата т.е.[tex]3-1=2[/tex]-рата степен и т.н. до нулевата.
След това в тези правоъгълничета отстрани пишем тези числа,които проверяваме дали са корени ( А знаеш ли теоремата на Безу?).В случаите,когато коефициентът(старши коефициентът) пред най-голямата степен е 1 .Тогава,ако уравнението има рационални числа,които са корени,то те са делите на свободния член.Какво значи това? В случая Свободният член е [tex]4[/tex] т.е. делите му са [tex]1,-1,2,-2,4,-4[/tex] т.е. има ли това уравнение рационален корен,то той е сред тези делители.А какво значи рационално число? Теоретично това са числата,които нямат подкоренна величина т.е. казано по по-прост начин това са числата,които нямат коренаци например [tex]\sqrt{2}[/tex] не е рационално число,но числото [tex]\frac{5}{ 8}[/tex] е рационално.
Та нека се върнем към таблицата 1-во винаги пренасяме старши коефициента (коефициентът пред най-голямата степен) в 1-вото квадратче .Т.е. в началото таблицата изглежда така:
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |      |     |     |     |
\   -1 |      |     |     |     |
\  2 |     |     |     |     |
\   -2 |     |     |     |     |
\  4 |   |     |     |     |
\   -4 |       |     |     |     |
И ние си пренасяме старши коефициента в първото квадратче т.е. след това таблицата изглежда така :
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |  1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |     |     |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1 |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |
Нека първо пробваме с числото [tex]-1[/tex] т.е. гледаме 2-рия ред в случая. Умножаваме числото,което проверяваме дали е корен(в случая [tex]-1[/tex]) с числото,което е в 1-вото квадратче и след това събираме с коефициента на следващата степен(т.е. коефициента пред [tex]x^2[/tex]) т.е. [tex]- 1[/tex].
Получаваме [tex]-1.1 + (-1)=-2[/tex] Това число -2 нанасяме в следващото празно квадратче :
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |  1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |  -2  |     |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1 |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |
Сега умножаваме пак числото,коеот проверяваме дали е корен ( в случая [tex]-1[/tex]) и събираме с коефициента пред следващата степен ( степента,която е с 1 по-малка от предходната) т.е. коефициента пред [tex]x^1[/tex]
Получаваме [tex]-1.(-2)+(-4)=-2[/tex]
Нанасяме пак:
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |  1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |  -2  |  -2  |     |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1 |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |
Правим пак същото [tex]-1.(-2) + 4 =6[/tex]
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |  1  |     |     |     |
\   -1 |   1  |  -2  |  -2  |  6  |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1 |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |
И тъй като вече не можем да направим пак същата процедура (тъй като няма по-малка степен от [tex]x^0[/tex] т.е. свободният член е с най-ниска степен),то спираме до тук.Последното получено число е [tex]6[/tex] т.е. това е остатъкът от делението.Но ние знаем от не знам си кой клас,че за да получим целочислено деление трябва остатъкът да е [tex]0[/tex] значи числото [tex]-1[/tex] не е корен на уравнението .
В случая ние разделихме [tex]x^3-x^2-4x+4[/tex] на [tex][x-(-1)][/tex] т.е. на [tex](x+1)[/tex].
т.е. [tex]\frac{x^3-x^2-4x+4}{(x+1) } =x^2 -2x-2 + \frac{6}{ (x+1)}[/tex]
Т.е. след като попълнихме таблицата за числото [tex]-1[/tex] ние установихме намерихме частното [tex]x^2 -2x-2[/tex],който се получава от всички квадратчета без последното,а от последното 6-цата това е остатъкът от делението .Това нещо ти го пиша,за да знаеш как да представиш полученото от тази таблица.
Нека сега пробваме с числото 1,като правим същите пресмятания както с -1.
##############################
####    |   1  |  -1  |  -4 |  4    |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    |
\  1 |  1  |   0  |  -4  |  0  |
\   -1 |   1  |  -2  |  -2  |  6   |
\  2 |   1  |     |     |     |
\   -2 |   1  |     |     |     |
\  4 |   1 |     |     |     |
\   -4 |   1  |     |     |     |
Това получаваме след като проверихме дали 1 е корен .Установяваме,че остатъкът е [tex]0[/tex] ==> числото е корен,тъй като [tex]\frac{x^3-x^2-4x+4}{(x-1) } =x^2 + 0.x +(-4) + \frac{0}{ (x-1)}[/tex]
или получаваме [tex]\frac{x^3-x^2-4x+4}{(x-1) } =x^2 -4[/tex] Т.е. тук имаме целочислено делене без остатък
от горното равенство ==> [tex]x^3-x^2-4x+4=(x^2-4)(x-1)[/tex]
т.е. трябва да решим [tex](x^2-4)(x-1)=0[/tex] ... и вече мисля,че е ясно ...
Ако уравнението беше от 5-та степен прилагаме този метод 1 път като достигаме уравнение като горното т.е. го разлагаме като намираме единия корен и го представяме като прозведение [tex](x-x1)(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)=0[/tex] .След това за [tex]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex] правим таблица и т.н. докато накрая стигнем до квадратно уравнение,което е елементарно да се реши.
Да обърнем внимание на този пример
[tex]x^4+x^3+x+1=0[/tex]
Това можем да го представим като [tex]x^4+x^3+0.x^2+x+1=0[/tex]
##############################
####    |   1  |  1  |  0 |  1  | 1 |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\  1 |    |     |   |      | |
\   -1 |  1  |  0  |  0  |  1   | 0 |
т.е. [tex](x+1)(x^3 + 0.x^2 + 0.x +1)=0[/tex]
Сега разглеждаме [tex]x^3 +1=0[/tex] от тук корен [tex]x=-1[/tex] т.е. [tex]x=-1[/tex] е двоен корен
Този пример съм го дал ,за да не се уплашиш като видиш някое уравнение,в което коефициента пред някоя от степените е [tex]0[/tex].
Теорема на Безу ... Няма да ти я казвам теоретично ...
Пример: [tex]3x^4-14x^3+16x^2+x-2=0[/tex]
В този случай корените може да са :[tex]\frac{p}{q}[/tex] където [tex]p[/tex]-делители на свободния член , [tex]q[/tex]-делители на старши коефициентът т.е. в случая трябва да пробваш числата : [tex]\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{3 } ,\pm \frac{2}{ 3}[/tex] .Пак ги проверяваш с таблицата на Хорнер . Всичко е същото ,само запомни тази теорема на Безу .В случаите,когато пробваш всички възможни рационални числа с тази таблица и не излязат корени може да приложиш метод на неопределените коефициенти.
Може да имам много правописни,технически грешки и т.н.,но просто се изморих .Нека където съм объркал да ме поправите.Извинявам се за "бъгнатите" таблици,ама нещо се чалнаха.Благодаря на Проданов за таблицата.Ако се сетя нещо основно ще допълня.

[andrea_doll]

Mr.G{}{}Fy , много мило, благодаря за хвърления труд, дано да не е напразно, дано го разбера. Не знам теоремата на Безу. Почнах да чета, това, което си обяснил. А сега и въпросите. Не разбирам числата, които се пишат отвесно ние ли си ги измисляме?

[Mr.G{}{}Fy]

Нека разгледаме този пример:
[tex]6x^4 - 19x^3 + 24x^2 - 18x + 5 =0[/tex]
Ако той има рационални корени те са сред числата от вида [tex]\frac{p}{ q}[/tex],където [tex]p[/tex] са делите на свободния член,а [tex]q[/tex]-делите на старши коефициента. Нека видим какви стойности може да приема [tex]p[/tex],т.е. кои са делителите на свободния член. Те са [tex]\pm 5[/tex] и [tex]\pm 1[/tex].[tex]q[/tex] пък може да приема стойностите на делителите на старши коефициента т.е. [tex]\pm 1,\pm 2, \pm 3,\pm 6,[/tex]
Нека ги комбинираме: почваме например ако [tex]p=\pm 1[/tex] ,а q е измежду числата [tex]\pm 1,\pm 2, \pm 3,\pm
6,[/tex] тогава [tex]\frac{p}{q }[/tex] приема следните стойности : [tex]\pm \frac{1}{1 } ,\pm \frac{1}{2 } ,\pm \frac{1}{ 3} ,\pm \frac{1}{6 }[/tex]. Сега нека [tex]p=\pm 5[/tex] и [tex]q[/tex] приема всичките си възможни стойности т.е. [tex]\pm 1,\pm 2, \pm 3,\pm 6,[/tex] тогава [tex]\frac{p}{q }[/tex] приема следните стойности :[tex]\pm \frac{5}{1 } ,\pm \frac{5}{2 } ,\pm \frac{5}{ 3} ,\pm \frac{5}{6 }[/tex]
Окончателно [tex]\frac{p}{q }[/tex] приема следните стойности :[tex]\pm \frac{1}{1 } ,\pm \frac{1}{2 } ,\pm \frac{1}{ 3} ,\pm \frac{1}{6 }, \pm \frac{5}{1 } ,\pm \frac{5}{2 } ,\pm \frac{5}{ 3} ,\pm \frac{5}{6 }[/tex]
Като естествено имаш в предив,че [tex]\frac{5}{ 1} =5[/tex] Аналотично и за [tex]1[/tex] върху [tex]1[/tex]
Т.е. почваш да проверяваш тези числа и като намериш число,което е корен(т.е. като го пресметнеш в табличката да получиш остатък [tex]0[/tex]) записваш уравнението както съм показал по-горе :
[tex](x-x1)(ax^3+bx^2+cx^1+d)=0[/tex] и прилагаш пак табличката за [tex]ax^3+bx^2+cx^1+d[/tex]

[mail_dinko]

Искам и аз да благодаря на Mr.G{}{}Fy
Ще пробвам да разложа полинома
Ако имам въпроси, може ли да ми отговорите?

[prodanov]

Ако имаш биричка, ша черпиш ли?

[mail_dinko]

Пробвах и взе, че стана
http://dox.bg/files/dw?a=53a53ede63

[mail_dinko]

Ще почерпя, само дето по компютъра мога така само
http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9 ... VNhrjTdgOg

[prodanov]

Можеш, ама е повече писане. Има по-айляк начин за тая работа. Чертаеш веднъж таблицата и пробваш с всеки делител докато стане. Ако не стане някъде - задраскваш целия ред. След като намериш първия корен - отбелязваш и продължаваш надолу с коефициентите от реда на корена, а не тези от първия ред, т.е не чертаеш пак всичко на ръка.