Неравенство

[baroveca]

.Решете неравенството:
[tex]\frac{\sqrt{-x^2+x+12} }{ 2x-9} \le \frac{\sqrt{-x^2+x+12} }{x-11 }[/tex]
Кажете ми къде бъркам.
Първо определям ДС [tex]x^2-x-12\le =>x\in [-3;4][/tex]
Прехвърлям и привеждам под НОЗ
[tex]\frac{\sqrt{-x^2+x+12} }{ 2x-9}-\frac{\sqrt{-x^2+x+12} }{x-11 }\le 0[/tex]

[tex]\frac{(x-11)(\sqrt{-x^2+x+12} )-(2x-9)(\sqrt{-x^2+x+12} }{ (2x-9)(x-11)} \le 0[/tex]

[tex]\frac{(\sqrt{-x^2+x+12})(x-11-2x+9) }{(2x-9)(x-11) } \le 0[/tex]

[tex]\frac{(\sqrt{-x^2+x+12})(x+2)}{(2x-9)(x-11) } \ge 0[/tex]
Полученото неравенство го разделям на две системи
[tex]\begin{tabular}{|l}(x+2)(\sqrt{-x^2+x+12})\ge 0\\(2x-9)(x-11)>0\end{tabular}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex](x+2)(\sqrt{-x^2+x+12})\le 0\\(2x-9)(x-11)<0[/tex] За решение на първата система получавам [tex]x\in [-2;4][/tex].А за втората система аз получавам,че решението е [tex]x\in [-3;2][/tex] понеже от неравенството [tex]x^2-x-12\le 0=>x\in [-3;4][/tex] и от [tex]x\le -2[/tex] засичам и получавам този отговор. Но една програмка ми подсказа,че втората система няма решение. На програмата ли да се доверя или на себе си. Ако предположим,че програмата e права и втората система няма решение, то като окончателен отговор получавам със засичането от ДС,че решенията са в интеравала [tex][-2;4][/tex]. А отговорът на задачата е [tex]x\in [-2;4]\cup{-3}[/tex]
Къде бъркам? И от къде изскача това -3?

[strangerforever]

Втората система няма решение. [tex][-2;4][/tex] е решението само на първото неравенство, като засечеш с решенията на другото - [tex](\frac{9}{2};11)[/tex] няма решение.

Да разгледаме първата:

Решенията на първото са [tex][-2;4][/tex] (след засичане на ДМ), обаче не забравяме и да включим хиксовете, за които всеки израз се занулява, защото неравенството не строго. Добавяме и -2, -3, 4. Окончателно: [tex]x \in [-2;4] \cup 3[/tex]

Решенията на второто са [tex]x \in (-\infty; \frac{9}{2}) \cup (11;\infty)[/tex]

След засичане се получава отговорът.

[baroveca]

Би ли показал как решаваш първото неравенство на втората система?

[strangerforever]

Допуснал съм грешка, не е [tex][-2;4][/tex]

[tex](x+2)(\sqrt{-x^2+x+12})\le 0[/tex]

Ясно е, че -2, -3 и 4 са решения. (стойностите, за които се нулират изразите)

При всеки друг хикс, коренът е винаги положителен, значи единствените решения, които остават са когато [tex](x+2)[/tex] е отрицателно или [tex]x < -2[/tex]

След засичане с [tex][-3;4][/tex] получаваш [tex]x \in [-3;-2] \cup 4[/tex]

[mail_dinko]

Качвам снимки на моите писания. Моля, някой ако обича, да обясни
http://dox.bg/files/dw?a=2bf02a8267
http://dox.bg/files/dw?a=732a0f2cf8

Решавах го и в този сайт - друг е отговора
http://www.wolframalpha.com/input/?i=((-x^2%2Bx%2B12)^(1%2F2))%2F(2x-9)%3C%3D((-x^2%2Bx%2B12)^(1%2F2))%2F(x-11)&t=crmtb01

От цялата работа осъзнавам, че проблема ми идва от това - кои интервали защриховам
може би губя минус някъде и защриховам грешно

[baroveca]

Качвам снимки на моите писания. Моля, някой ако обича, да обясни
http://dox.bg/files/dw?a=2bf02a8267
http://dox.bg/files/dw?a=732a0f2cf8

От това, което видях на картинка ноер 2, май си пропусна един минус, след като си сменил посоката на неравенството. След като си изнесъл минуса пред x^2 вече имаш два минуса- единият пред скобите, а другия след като изваждаш двете дроби. Но след като умножаваш по -1, за да го махнеш, втория минус забрави да го направиш на +

[strangerforever]

baroveca, не виждам логична причина да не се оттървеш от корена още в началото. Записваш си ДМ, посочваш като решения 4 и -3 и делиш на корена.

Тогава неравенството се свежда до

[tex](x+2)(2x - 9)(x-11) \ge 0[/tex] като не забравяш, че имаш и ДМ за знаменателите от началото.

От тук с метода на интервалите елементарно се намира решението [tex]x \in [-2; \frac{9}{2}] \cup [11;\infty)[/tex]

След засичане на ДМ за коренa, махане на 9/2 и 11 от решенията, защото са в знаменател и включване на 4 и -3, които посочихме като решения, се получава отговорът.

[baroveca]

baroveca, не виждам логична причина да не се оттървеш от корена още в началото. Записваш си ДМ, посочваш като решения 4 и -3 и делиш на корена.

Тогава неравенството се свежда до

[tex](x+2)(2x - 9)(x-11) \ge 0[/tex] като не забравяш, че имаш и ДМ за знаменателите от началото.

От тук с метода на интервалите елементарно се намира решението [tex]x \in [-2; \frac{9}{2}] \cup [11;\infty)[/tex]

След засичане на ДМ за коренa, махане на 9/2 и 11 от решенията, защото са в знаменател и включване на 4 и -3, които посочихме като решения, се получава отговорът.

Е да, ама май не се получава отговора като в учебника и онзи сайт с решаването на задачи показва различен отговор.

[mkmarinov]

Какво правите бе, хора...
За х в ДМ и двете страни са с еднакъв знак (отрицателен). Тогава умножаваме на кръст, сменяме знака, освобождаваме се от знаменателите и получаваме линейно неравенство.

[inveidar]

Какво правите бе, хора...
За х в ДМ и двете страни са с еднакъв знак (отрицателен). Тогава умножаваме на кръст, сменяме знака, освобождаваме се от знаменателите и получаваме линейно неравенство.

Сменяш знака, ама друг път!

[Mr.G{}{}Fy]

ОТ ДС ===> и двата знаменателя са отрицателни т.е. като умножиш 2 пъти по отрицателно ще се запази знака ... Умножаваш ги на кръст делиш на тоя Корен ,като добавяш от него решенията(за които изразите от ляво и от дясно са 0) ,и след това си е нормално линейно неравенство :[tex]x-11\le 2x-9[/tex] и си готов

[baroveca]

ОТ ДС ===> и двата знаменателя са отрицателни т.е. като умножиш 2 пъти по отрицателно ще се запази знака ... Умножаваш ги на кръст делиш на тоя Корен ,като добавяш от него решенията(за които изразите от ляво и от дясно са 0) ,и след това си е нормално линейно неравенство :[tex]x-11\le 2x-9[/tex] и си готов

Но решението е друго.Ето и в онзи сайт Wolfram го решават и се получава друг отговор.

[Mr.G{}{}Fy]

Какъв е отговорът? [tex]x\in [-2;4]\cup{-3}[/tex] това ли е ?

[baroveca]

Какъв е отговорът? [tex]x\in [-2;4]\cup{-3}[/tex] това ли е ?

Да.

[Mr.G{}{}Fy]

Еми добре от това неравенство,което написах идва всичко без -3 тя идва когато разделим с онзи корен.Тъй като,ако x=-3 то се получава [tex]0\le 0[/tex] ,което е вярно.Кое не е ясно?

[mkmarinov]

Какво правите бе, хора...
За х в ДМ и двете страни са с еднакъв знак (отрицателен). Тогава умножаваме на кръст, сменяме знака, освобождаваме се от знаменателите и получаваме линейно неравенство.

Сменяш знака, ама друг път!

Сменяш знака два пъти и излиза!