Едно неравенство

[kucheto]

Нека [tex]M=\{x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n}\[/tex] е множество от първите [tex]n[/tex] естествени числа в разбъркан ред. Да се докаже, че:

[tex]\frac{x_1}{1}+\frac{x_2}{2}+...+\frac{x_n}{n}\ge n[/tex], като равенство се достига при [tex]x_k=k[/tex] за всеки избор на [tex]k\le n[/tex].

[ganka simeonova]

От СА-СГ=>[tex]\frac{x_1}{1 } +\frac{x_2}{2 } +...+\frac{x_n}{ n} \ge n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2...x_n}{1.2...n } } =n[/tex],

като равенство се достига за [tex]\frac{x_1}{1} =\frac{x_2}{2}=...=\frac{x_n}{n}[/tex]=>

[tex]x_1=x_1; x_2=2x_1,...x_n=nx_1[/tex]..(1). Да съберем почленно тези равенства=>

[tex]x_1+x_2+..+x_n=(1+2+...+n)x_1=>[/tex]
[tex](1+2+...+n)=(1+2+...+n)x_1=>x_1=1=>x_2=2=> x_n=n[/tex]