Доказване на неравенство

[Aneliya]

Трябва да докажа, че следното неравенство е вярно. Много неща пробвах, но нещо не мога да го измисля. Ще помоля за малко помощ.

[tex]a^{4} + 2 \ge a^{2} + 2a[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]a^4-a^2-2a+2=a^4-2a^2+1+a^2-2a+1=(a^2-1)^2+(a-1)^2\ge 0[/tex] Равенство за [tex]a=1[/tex]

[Aneliya]

Благодаря много! Ако може малко помощ и за следните три неравенства:

Да се докаже, че е вярно: [tex]a^{5} - a^{2} \ge 3a - 3[/tex], ако [tex]a \ge -1[/tex]

Ако a, b и c са неотрицателни числа, да се докаже

1) [tex]a + b + c \ge 3(ab + bc + ac)[/tex]
2) [tex]a^{4} + b^{4} + c^{4}\ge abc(a + b + c)[/tex]

[0xdeadbeef]

[tex]a^5 - a^2 \ge 3a - 3 \Leftrightarrow a^5 - a^2 - 3a + 3 = (a-1)^2[(a+1)(a^2 +3) + a^2] \ge 0[/tex],при [tex]a + 1
\ge 0[/tex].

[0xdeadbeef]

[tex]a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a+b+c) \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 - abc(a+b+c) \ge 0[/tex].

От СА–СГ имаме: [tex]a^4 + b^4 + c^4 - abc(a+b+c) \ge 3\sqrt[3]{(abc)^4} - 3\sqrt[3]{(abc)^4} = 0[/tex]

[kucheto]

От СА–СГ имаме: [tex]a^4 + b^4 + c^4 - abc(a+b+c) \ge 3\sqrt[3]{(abc)^4} - 3\sqrt[3]{(abc)^4} = 0[/tex]

Това не доказва нищо!

[0xdeadbeef]

Прав си! Объркал съм се нещо.

[dim]

[tex]a^4+b^4+c^4\ge (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\ge abc(a+b+c)[/tex]

И двете неравенства следват от [tex]a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca[/tex], което се доказва с равносилното представяне [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0[/tex]

Равенство имаме за [tex]a=b=c[/tex]

[dim]

1) [tex]a+b+c\ge 3(ab+bc+ca)[/tex] - между другото не е вярно. Виж пак условието.

[strangerforever]

1) [tex]a+b+c\ge 3(ab+bc+ca)[/tex] - между другото не е вярно. Виж пак условието.

Обърни знака.

[dim]

И това не е вярно. Пробвай примерно с [tex]a=b=c=\frac{1}{5}[/tex]. Получава се [tex]\frac{3}{5}>1[/tex] - противоречие

[kucheto]

Очевидно трябва да е: [tex](a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/tex], което е много известно неравенство.

[Aneliya]

Очевидно трябва да е: [tex](a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/tex], което е много известно неравенство.

И аз си го мислех, междудругото, това, защото с квадрата съм го доказвала и доста се очудих, че го нямаше в условието. Най-вероятно има грешка в сборника.
Иначе съм преписала абсолютно точно условията. Благодаря за помощта!