Параметрично неравенство

[Consigliere-]

Ако може да ми го обясните подробно !!!!!
Да се намерят стойностите на реалния параметър а,за които неравенството [tex]\frac{x}{ax-1 }\ge \frac{2}{ x}[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x\ge2[/tex]

[mkmarinov]

Прехвърляме отляво, подвеждаме под общ знаменател и се получава
[tex]\frac{x^2-2ax+2}{x(ax-1)} \ge 0[/tex]
х в знаменателя е положително, така че можем да умножим двете страни по него като неравенството запази знака си.
[tex](x^2-2ax+2)(ax-1) \ge 0 \forall x \ge 2[/tex]
Няколко наблюдения:
при а<0 лявата страна е полином от 3 степен с отрицателен старши коефициент и приема отрицателни стойности за достатъчно големи х. Оттам не съществува нито едно а<0, което е решение.
при а=0 полиномът е от втора степен и искаме [tex]-(x^2+2) \ge 0[/tex], което е невъзможно.
Откъдето получихме, че [tex]a>0[/tex]. Оттук и формулите на Виет следва, че двата корена на [tex]x^2-2ax+2[/tex] са с еднакъв знак, при това положителен([tex]x_1+x_2=2a>0, x_1x_2=2>0[/tex]).
Делим двете страни на а (неравенството азпазва знака си):
[tex](x^2-2ax+2)(x-\frac{1}{a}) \ge 0 \forall x \ge 2[/tex]
Оттук може да се продължи по няколко начина. Ще покажа един от тях.
Разглеждаме знака на [tex]x-\frac{1}{a}[/tex] и правим случаи според него:
1) [tex]x-\frac{1}{a} \ge 0 \forall x \ge 2[/tex], което е еквивалентно на [tex]a \ge \frac{1}{2}[/tex]. Делим на [tex]x-\frac{1}{a}[/tex] и искаме
[tex]x^2-2ax+2 \ge 0 \forall x \ge 2[/tex]
1.1) Квадратният тричлен няма корени или има двоен корен (и в двата случая приема само неотрицателни стойности) => [tex]D=4(a^2-2) \le 0 => a \le \sqrt{2}[/tex], пресечено с предното условие излиза [tex]a \in [\frac{1}{2}, \sqrt{2}][/tex]
1.2) Квадратният тричлен има два корена, като и двата са по-малки от 2. Достатъчно е да изискваме само по-големият от тях да е по-малък или равен на 2.
[tex]D>0 <=> a > \sqrt{2}[/tex]
[tex]x_+=a+\sqrt{a^2-2}\le 2[/tex]
[tex]\sqrt{a^2-2}\le 2-a[/tex], тук е задължително [tex]a\le 2[/tex] (дясната страна да е неотрицателна)
[tex]a^2-2\le 4-4a+a^2[/tex]
[tex]a\le \frac{3}{2}[/tex]
Окончателно от 1.2) получаваме [tex]a \in (\sqrt{2}, \frac{3}{2}][/tex]. Обединявайки с 1.1), получаваме, че от първи случай имаме [tex]a \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}][/tex]
1.3) Квадратният тричлен има двоен корен, по-голям от две - невъзможно, т.к. квадратът на този корен е равен на свободният член, който е 2.

2)
[tex]x-\frac{1}{a} < 0 \forall x \ge 2[/tex]: еквивалентно е на [tex]a \in [0, \frac{1}{2}][/tex]
Делейки на [tex]x-\frac{1}{a}[/tex] получаваме
[tex]x^2-2ax+2 \le 0 \forall x \ge 2[/tex]
Което е невъзможно, т.к. за достатъчно големи х квадратният тричлен е положителен.

Окончателно се получава [tex]a \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}][/tex]

[Consigliere-]

Много благодаря за подробното решение !

[0xdeadbeef]

При [tex]a = \frac{1}{2}[/tex] и [tex]x=2[/tex] - знаменателя на лявата страна става нула!

[mkmarinov]

Мда, хубаво е граничните случаи да се проверяват

[Consigliere-]

[tex](2^{x}-a)(log_{2}x-2)=0[/tex] ,за кои [tex]a[/tex],у-нието има само 1 корен.Аз получaвам [tex]a\in (-\infty ;1] \cup {{16}}[/tex] , a отговора е [tex]a\in (-\infty ;0] \cup {16}[/tex]
Задачaта не е трудна,моля само да кажeте дали грешa или не .
Благодаря !

[mkmarinov]

В този случай ти си прав.