Доказателство на неравенства

[Aneliya]

1) Ако а≥0, b≥0, c≥0, то [tex]a^{3} + b^{3} + c^{3}\ge 3abc[/tex]
2) Ако а_{1}≥0, a_{2}≥0, a_{3}≥0, то [tex]\sqrt[3]{a_{1}a_{2}a_{3}}\le \frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3 }[/tex]
3) Ако а_{1}>0, a_{2}>0, a_{3}>0, то [tex]\frac{3}{\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{ a_{2}} + \frac{1}{a_{3} } }[/tex]
4) Ако a≥-1, n[tex]\in[/tex] N, n≥2, то [tex](1+a)_{n}\ge 1 + na[/tex]

[strangerforever]

1) Ако а≥0, b≥0, c≥0, то [tex]a^{3} + b^{3} + c^{3}\ge 3abc[/tex]
2) Ако а_{1}≥0, a_{2}≥0, a_{3}≥0, то [tex]\sqrt[3]{a_{1}a_{2}a_{3}}\le \frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3 }[/tex]
3) Ако а_{1}>0, a_{2}>0, a_{3}>0, то [tex]\frac{3}{\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{ a_{2}} + \frac{1}{a_{3} } }[/tex]
4) Ако a≥-1, n[tex]\in[/tex] N, n≥2, то [tex](1+a)_{n}\ge 1 + na[/tex]

1) СА-СГ
2) СА-СГ
3) Недовършено, но СХ-...
4) Бернули

Фундаментални неравенства, можеш да намериш много доказателство на тях. Основно - индукция.

[mkmarinov]

1)
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) \ge 0[/tex] ако a,b,c са положителни.