2^[x] + a.2^[2-x] = 2a+2 параметъра а=? за да има 1 корен

[DFcheee]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението има единствен корен 2^[x] + a.2^[2-x] = 2a+2

[mail_dinko]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението има единствен корен
[tex]2^x + a.2^{2-x} = 2a+2[/tex]
[tex]2^x + \frac {a.2^2}{2^x} - 2a-2=0|.2^x[/tex]
[tex](2^x)^2+4a-2a.2^x-2.2^x=0[/tex]
[tex](2^x)^2-2(a+1)2^x+4a=0[/tex]
Полагаме
[tex]2^x=t>0[/tex]
[tex]t^2-2(a+1)t+4a=0[/tex]
За да има един единствен корен, трябва дискриминантата да е равна на нула
[tex]D=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]
[tex](a-1)^2=0[/tex]
[tex]a-1=0[/tex]
[tex]a=1[/tex]

[kucheto]

За да има един единствен корен, трябва дискриминантата да е равна на нула

... или да има уравнението 1 положителен и 1 неположителен корен. Корените са [tex]t_1=2,\ t_2=2a\Rightarrow a=1\cup a\le 0[/tex]