системни линейни уравниния

[mona]

Ако може по подробно решение и обяснение на тези задачи:

[tex]\begin{tabular}{|l} 2x+3y=-3\\2x-y=-1\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} 5x-2y=6\\7x+2y=6\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} \frac{2,5x+2y}{2} =3 \\ \frac{3x-2y}{3} +4=3x\end{tabular}[/tex]

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l}2.x-3.y=-3 \\ 2.x-y=-1 \end{array}[/tex]

Задачи от системи линейни уравнения с две неизвестни се решават обикновено по един от следните два начина:
-чрез изразяване на едното неизвестно от едното уравнение и заместване с израза за него в другото уравнение;
-чрез почленно изваждане на изразите, като се стремим коефициентите пред едно от неизвестните да са еднакви в двете уравнения;

Начин 1: чрез изразяване- в случая У във второто уравнение има коефициент 1 пред себе си затова е най-удачно да изразим него:
[tex]\begin{array}{|l}2.x-3.y=-3 \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2.x-3.y=-3 \\ -y=-1-2.x |.(-1)\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x-3.(2.x+1)=-3 \\ y=2.x+1\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x-6.x-3=-3 \\ y=2.x+1 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}4.x=0 \\ y=2.x+1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=0 \\ y=2.0+1\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=0 \\ y=1\end{array}[/tex]

Начин 2: чрез почленно изваждане- в случая и в двете уравнения коефициентът пред Х е един и същ по знак и като стойност, затова можем да започнем да изваждаме. Почленно изваждане означава лявата част на първото уравнение минус лявата част на второто е равно на дясната част на първото уравнение минус дясната част на второто уравнение. За да се запази системата се дописва едно от двете начални уравнения.

[tex]\begin{array}{|l}2.x-3.y=-3 \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x-3.y-(2.x-y)=-3-(-1) \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x-3.y-2.x+y=-3+1 \\ 2.x-y=-1 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}-2.y=-2 \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}y=1 \\ 2.x-1=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}y=1 \\ x=0 \end{array}[/tex]
---

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l} 5.x-2.y=6 \\ 7.x+2.y=6 \end{array}[/tex]

В случая вместо да ги извадим е по-удачно почленно да ги съберем, защото коефициентите пред У са с еднаква стойност и различен знак.

[tex]\begin{array}{|l} 5.x-2.y=6 \\ 7.x+2.y=6 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x-2.y+7.x+2.y=6+6 \\ 7.x+2.y=6 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l} 12.x=12\\ 7.x+2.y=6\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} x=1\\ 7.1+2.y=6 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x=1 \\ 2.y=6-7 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=1 \\ 2.y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=1 \\ y=-\frac{1}{2}\end{array}[/tex]

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l}\frac{2,5.x+2.y}{2}=3 \\ \frac{3.x-2.y}{3}+4=3.x \end{array}[/tex]

Първо трябва да преобразуваме уравненията за да бъдат във вида: [tex]a.x +b.y = c[/tex]. Например ако умножим числителя и знаменатяля на дробта [tex]\frac{2,5.x+2.y}{2}[/tex] с 2 ще се освободим от числото 2,5. След това ще направим НОК във всяко уравнение. После всички Х и У ще минат в ляво, а всички свободни членове- в дясно.

[tex]\begin{array}{|l}\frac{2.(2,5.x+2.y)}{2.2}=3 \\ \frac{3.x-2.y}{3}+4=3.x \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}\frac{5.x+4.y)}{4}=3 \\ \frac{3.x-2.y}{3}+4=3.x \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y=3.4 \\ 3.x -2.y +4.3= 3.3.x \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y=12 \\ 3.x -2.y +12= 9.x \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y=12 \\ 3.x -2.y -9.x= -12 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y=12 \\ -6.x -2.y = -12 |.(2)\end{array}[/tex]

Коефициентите пред У във второто уравнение са с различни знаци, ако умножим второто уравнение с 2, те ще имат и еднаква стойност. След това ще ги съберем почленно.

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y=12 \\ -12.x -4.y = -24 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y+(-12.x -4.y)=12+(-24) \\ 5.x+4.y=12 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}5.x+4.y-12.x -4.y=-12 \\ 5.x+4.y=12 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}-7.x=-12 \\ 5.x+4.y=12 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ 5.\frac{12}{7}+4.y=12 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ \frac{60}{7}+4.y=12 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ 60+7.4.y=7.12 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ 60+28.y=84\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ 28.y=84-60\end{array} \hspace{10} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ 28.y=24\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ y=\frac{\cancel{4}.6}{\cancel{4}.7}\end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{12}{7} \\ y=\frac{6}{7}\end{array}[/tex]

[ammornil]

Грешно съм преписал първата задача:

[tex]\begin{array}{|l}2.x+3.y=-3 \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x+3.y-(2.x-y)=-3-(-1) \\ 2.x-y=-1 \end{array}[/tex][tex]\hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}2.x+3.y-2.x-y=-3+1 \\ 2.x-y=-1 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}2.y=-2 \\ 2.x-y=-1 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=-1 \\ 2.(-1)-y=-1 \end{array}[/tex][tex]\hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=-1 \\ -y=-1+2 \end{array} \hspace{10} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=-1 \\ y=-1 \end{array}[/tex]