Неравенство за елементи на редица

[seppen]

[tex]a_1, ..., a_n[/tex] - реални
[tex]a_1 + ... + a_n \ge n^2 \\
a_1 ^2 + ... + a_n ^2 \le n^3 + 1[/tex]
Да се докаже, че:
[tex]n - 1 \le a_k \le n + 1[/tex]

[mkmarinov]

Нека [tex]b_k=a_k-n[/tex]
Допълваме до точен квадрат във второто условие:
[tex]b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2 \le n^3+n.n^2-2n(a_1+a_2+\dots+a_n)+1 \le 1[/tex]
Вече е очевидно .

[seppen]

Благодаря, схванах го.
При това условие задължително [tex]|b_k| < 1[/tex].
Явно задачата е без равенство.

[mkmarinov]

Ами, възможно е някое [tex]b_k[/tex] да е [tex]\pm 1[/tex], но тогава всички останали са нули ([tex]a_k=n[/tex]).