задачи от ДЗИ

[gab4eto_pz11]

Извинявам се, но ако трябва да съм честна, не разбрах изобщо този начин на решаване.

[pal702004]

Извинявам се, но ако трябва да съм честна, не разбрах изобщо този начин на решаване.

Абе човек, за кое ествествено [tex]a[/tex] [tex]a+1[/tex] се дели на [tex]a[/tex]

[inveidar]

Геометричната прогресия е [tex]a, a+1, b[/tex]. Ако частното е [tex]q[/tex], то [tex]a+1=aq[/tex]. Тогава [tex]q=\frac{a+1}{a }[/tex]. [tex]b=a.q^2=a.(\frac{a+1}{a })^2=a.\frac{a^2+2a+1}{a^2 }=\frac{a^2+2a+1}{a }=a+2+\frac{1}{a }[/tex]. От последното, тъй като [tex]b[/tex] е цяло положително число, следва че [tex]\frac{1}{a }[/tex] е цяло число и от това единствената възможност за [tex]a[/tex] е [tex]a=1[/tex](а е цяло положително по условие!). Сега лесно намираме [tex]b=1+2+\frac{1}{1 }=4[/tex]. Така по-ясно ли е?

[amsara]

[tex]a_{1}, a_{1}+1, a_{3} => a_{1}.q=a_{1}+1 <=> a_{1}q-a_{1}=1 <=> a_{1}(q-1)=1 <=> a_{1}=\frac{1}{q-1 }[/tex]
[tex]a_{1}[/tex]- цяло положително по условие =>[tex]q=2; a_{1}=1, a_{2}=1.2=2, a_{3}=2.2=4[/tex]

[math10.com]

[tex]a_{1}, a_{1}+1, a_{3} => a_{1}.q=a_{1}+1 <=> a_{1}q-a_{1}=1 <=> a_{1}(q-1)=1 <=> a_{1}=\frac{1}{q-1 }[/tex]
[tex]a_{1}[/tex]- цяло положително по условие =>[tex]q=2; a_{1}=1, a_{2}=1.2=2, a_{3}=2.2=4[/tex]

Сара , нямаш доказателство ,че [tex]q=2[/tex] , от това което си написала не е доказано , че [tex]q[/tex] е цяло положително.

[ptj]

[tex]a_{1}, a_{1}+1, a_{3} => a_{1}.q=a_{1}+1 <=> a_{1}q-a_{1}=1 <=> a_{1}(q-1)=1 <=> a_{1}=\frac{1}{q-1 }[/tex]
[tex]a_{1}[/tex]- цяло положително по условие =>[tex]q=2; a_{1}=1, a_{2}=1.2=2, a_{3}=2.2=4[/tex]

Сара , нямаш доказателство ,че [tex]q=2[/tex] , от това което си написала не е доказано , че [tex]q[/tex] е цяло положително.

Напротив : целочислените делители на 1 са 1 и -1. Тогава щом [tex]a_1[/tex] e цяло положително по условие, то очевидно [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q-1=1[/tex].

[inveidar]

Ами ако [tex]q-1=\frac{1}{3 }[/tex], примерно? Тогава [tex]a_1=3[/tex] и няма проблем.

[math10.com]

Напротив : целочислените делители на 1 са 1 и -1. Тогава щом [tex]a_1[/tex] e цяло положително по условие, то очевидно [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q-1=1[/tex].

Неправилен коментар.....

Хора , особено кандидат-студентите.Внимавайте в доказателството на подобни привидно лесни задачи , за да не ви намалят оценката.Въпреки че изглежда очевидно е редно да се обоснове.

[ptj]

O.K. Съгласен съм с критиките.

Трябваше да продължи:
[tex]a_1=\frac{1}{q-1 } <=>q=\frac{a_1+1}{a_1 }[/tex]
тогава [tex]a_1q^2=a_1\frac{(a_1+1)^2}{a_1^2 } =\frac{(a_1+1)^2}{a_1 }[/tex].

Всеки две последователни естествени числа са взаимно прости, сл. единствения вариант [tex]a_1q^2[/tex] да е цяло е [tex]a_1=1[/tex].

П.П. Понеже [tex]a_1<\sqrt{(a_1+1)^2}[/tex] , то [tex]gcd(a_1; (a_1+1)^2)=gcd(a_1;a_1+1)[/tex].

[amsara]

Съгласнa, че трябваше да разпиша откъде следва, че частното е естествено число. Обикновено съм по-обстоятелствена в разписването, отколкото е необходимо. Сега отидох в другата крайност. Сори, ако съм подвела някого.

[gab4eto_pz11]

Как се решава 8 а

[loving_math]

[tex]a_{3}=12[/tex]
[tex]a_{1}-a_{4}=-21[/tex]
[tex]S_{n}=21[/tex]

[tex]a_{1}q^2=12[/tex]
[tex]a_{1}-a_{1}q^3=-21[/tex]
[tex]S_{n}=21[/tex]

[tex]a_{1} \ne 0; q \ne 0 =>\frac{a_{1}(1-q^3)}{ a_{1}q^2}=-\frac{21}{12 }[/tex]
[tex]4q^3-7q^2-4=0 <=> (q-2)(4q^2+q+2)=0 => q=2 => a_{1}=\frac{12}{q^2 }=\frac{12}{4 } =3[/tex]
[tex]S_{n}=21 <=> 21=\frac{3(1-2^n)}{1-2 } <=> 2^n=8 => n=3[/tex]

[gab4eto_pz11]

ама много накратко решение и как се получи q=2

[loving_math]

Не мисля, че е необходимо да се разписва всяка сметчица. Все пак и питащият следва да се понапъне и да разбере кое от къде следва. Задачата е стандартна, получава се уравнение от трета степен за [tex]q[/tex]. След разлагането на множители и приравняването на 0 става ясно, че единственият реален корен е 2.

[ptj]

Друг вариант е да съобразите, че [tex]S_3=\frac{a_1(q^3-1)}{q-1 }=\frac{21}{q-1 }[/tex],т.е. че ако именно сумата на първите 3-члена е 21, то тогава [tex]q=2[/tex] и [tex]a_1=3[/tex].
Остава да се върнете в [tex]a_3=a_1q^2=12[/tex] и да проверите, че намерената двойка [tex](a_1,q)=(3;2)[/tex] наистина е решение.

Естествено е да предполагаме, че задачата е определена еднозначно и има само едно решение.
Тогава намерения от вас частен случай (решение) е единствен.


П.П. За разбирането на решението с разлагане на уравнение от 3-та степен, се изисква или да знаете схема на Хорнер, или деление на полиноми с метод на неопределени коефициенти, или групиране чрез налучкване...

[gab4eto_pz11]

Благодаря, а 10.1. тръгнах и стигнах донякъде и се оплетох в сметките

[loving_math]

Напълно съм съгласна, че предложеният по-горе начин е по-рационален. Обаче с другото не съм съвсем: Ученик в 12 клас, още повече такъв, избрал очевидно да полага ДЗИ по мат, все по един от изброените начини би трябвало да може да разложи полином от 3-та степен.

[gab4eto_pz11]

Благодаря за загрижеността!!! Но бих искала отговор на последния ми коментар (10.1. задача).

[ptj]

Потърси "решаване на хомогенно уравнение".

[gab4eto_pz11]

Аз пак стигам до уравнения от по-висока степен, а трябва да го реша като геометрична прогресия

[ptj]

Аз пак стигам до уравнения от по-висока степен, а трябва да го реша като геометрична прогресия

[tex]a_1=1[/tex]; [tex]q=x-1[/tex] ; [tex]S_4=15[/tex]

[tex]S_4=a_1(q^3+q^2+q+1)[/tex]
[tex]q^3+q^2+q-14=0[/tex]
Ако има целочислен корен, то той е някое от числата [tex]\pm1; \pm2; \pm7; \pm14[/tex].

[tex]2^3+2^2+2-14=0[/tex], т.е. [tex](q-2)[/tex] е делител на [tex]q^3+q^2+q-14[/tex].

[tex]q^3+q^2+q-14=(q-2)q^2 +3q^2 +q-14=(q-2)(q^2+3q)+7q-14=(q-2)(q^2+3q+7)[/tex]

[tex](q-2)(q^2+3q+7)=0 \Rightarrow q=2 \Leftrightarrow x=3[/tex]

[tex]q^2+3q+7=(q+\frac{3}{2 })^2+(7-\frac{9}{4 })\ge \frac{19}{4 }[/tex]

[loving_math]

ptj, ето как още в следващата задача се стигна до разлагане на полином от 3-та степен

[ptj]

Аз никога не съм критикувал решението с разлагане.

2-рия начин го обясних, защото мен като ученик много ме мързеше да пиша и винаги търсех лесните нестандартни решения на 2 реда.

[loving_math]

Аз никога не съм критикувал решението с разлагане.

2-рия начин го обясних, защото мен като ученик много ме мързеше да пиша и винаги търсех лесните нестандартни решения на 2 реда.

Далеч съм от идеята, че си критикувал решението. Oще по-малко пък да не ми е харесало бързото и рационалното ти решение. Имах предвид уточнението ти, че за разлагане се иска едва ли не като нещо допълнително да се знае този, онзи или трети метод на разлагане. Аз само написах, че в 12 клас по подразбиране поне по един начин следва да могат да разлагат. А разликата между това следва да могат и дали реално могат е друга тема.

[gab4eto_pz11]

Аз пак стигам до уравнения от по-висока степен, а трябва да го реша като геометрична прогресия

[tex]a_1=1[/tex]; [tex]q=x-1[/tex] ; [tex]S_4=15[/tex]

[tex]S_4=a_1(q^3+q^2+q+1)[/tex]
[tex]q^3+q^2+q-14=0[/tex]
Ако има целочислен корен, то той е някое от числата [tex]\pm1; \pm2; \pm7; \pm14[/tex].

[tex]2^3+2^2+2-14=0[/tex], т.е. [tex](q-2)[/tex] е делител на [tex]q^3+q^2+q-14[/tex].

[tex]q^3+q^2+q-14=(q-2)q^2 +3q^2 +q-14=(q-2)(q^2+3q)+7q-14=(q-2)(q^2+3q+7)[/tex]

[tex](q-2)(q^2+3q+7)=0 \Rightarrow q=2 \Leftrightarrow x=3[/tex]

[tex]q^2+3q+7=(q+\frac{3}{2 })^2+(7-\frac{9}{4 })\ge \frac{19}{4 }[/tex]

Последният ред какво означава? И преди това по-горе откъде се взе седмица в уравнението?