Прогресии

[Aleksandrov]

Здравейте, за пръв път пиша във форума ви и се надявам, да не съм объркал нещо.
Нуждая се от малко помощ, понеже математиката ми е много зле, а утре имам класна и искам да видя, как се решават този вид задачи, за да мога утре да имам идея, какво да правя.

Та едната задача е

а5-а1=560
а4-а2=168

ако q>1, намерете а1, q и S4

(знам че, задачата е елементарна и видях подобни задачи решени, но се пробвах да реша тази и не успях и затова моля за помощ).

Другата задача е:

Три числа, сборът на които е 35 образуват геом. прогресия. Ако от първото извадим 1, а от третото извадим 4 получаваме аритм. прогресия.
Намерете сборът на най-малкото с най-голямото от числата.

Благодаря предварително, ако има някой, който да ми помогне на време.

[S.B.]

Задачата е от почти 5 години и е без отговор!Aleksandrov сигурно вече не е ученик и едва ли се интересува от прогресии,но сега в 11 клас е "сезона на прогресиите" и се надявам отговора все пак да помогне на някого!
Зад.1
[tex]a_{5 }[/tex] - [tex]a_{1 }[/tex] =560
[tex]a_{4 }[/tex] - [tex]a_{2 }[/tex] =162
Тъй като са членове на геометрична прогресия:
a[tex]q^{4}[/tex] - a =560
a[tex]q^{3}[/tex] - aq=162
Преобразуваш:
a([tex]q^{2} - 1)(q^{2} + 1)[/tex] = 560
aq([tex]q^{2}[/tex] - 1) = 168
делиш почленно и получаваш:[tex]\frac{q^{2} + 1}{q}[/tex] = [tex]\frac{10}{3}[/tex] или 3[tex]q^{2}[/tex] - 10q + 3 = 0
Получаваш [tex]q_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex] < 1 ,което не ни върши работа и [tex]q_{2 }[/tex] = 3 > 1
За q=3 съответно [tex]a_{1 }[/tex] = 7 ,a [tex]S_{4 }[/tex] = 280

Зад.2 Геом. прогресия е : a,aq,a[tex]q^{2}[/tex]; Аритм. прогресия е:a - 1 ,aq ,a[tex]q^{2}[/tex] - 4
a + aq + a[tex]q^{2}[/tex] = 35
а - 1 + а[tex]q^{2}[/tex] - 4 = 2aq
Преобразуваш:
a(1 + q +[tex]q^{2}[/tex]) = 35
a(1 - 2q + [tex]q^{2}[/tex]) = 5
Делиш почленно и получаваш :[tex]\frac{1 + q + q^{2} }{1 - 2q + q^{2}}[/tex] = 7 или 2[tex]q^{2}[/tex] - 5q + 2 =0
Решенията са [tex]q_{1 }[/tex] = 2 и съответно [tex]a_{1 }[/tex] = 5 и [tex]q_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] и съответно [tex]а_{2 }[/tex] = 20
Търсените числа са : 5 , 10 , 20 или 20 ,10 , 5
Сумата на първото и последното число и в двата случая е 25