Сума на геометрична прогресия

[m.velichkov]

Здравейте! Имам дадена тази задача:
Намерете първия член B1 на геометричната прогресия ако b5=1/8 и S5=31/8
Ще съм благодарен ако ми покажете начина на решение

[Vulev]

[tex]b_{5}=b_{1}q^{4}[/tex]. По условие [tex]b_{5}=\frac{1}{8}=>b_{1}=\frac{1}{8q^{4}}[/tex].
[tex]S_{5}=b_{1}\frac{q^{5}-1}{q-1}[/tex]. Заместваме с получения израз за [tex]b_{1}[/tex] и използваме, че [tex]S_{5}=\frac{31}{8 }[/tex].
Получаваме [tex]\frac{1}{8q^{4}}.\frac{q^{5}-1}{q-1}=\frac{31}{8 }[/tex]
[tex]\frac{q^{5}-1}{q^{5}-q^{4}}=31[/tex]
[tex]q^{5}-1=31(q^{5}-q^{4})[/tex]
[tex]30q^{5}-31q^{4}+1=0[/tex]
[tex]30q^{4}(q-1)-(q-1)=0[/tex]. Тук делим на (q-1), тъй като формулата за сума на геометрична прогресия, която използваме, изисква [tex]q\ne 1[/tex]
[tex]30q^{4}-1=0[/tex]
[tex]q^{4}=\frac{1}{30 }[/tex]. Заместваме в израза за [tex]b_{1}[/tex]: [tex]b_{1}=\frac{1}{8q^{4}}[/tex] и получаваме:
[tex]b_{1}=\frac{1}{8.\frac{1}{30}}=\frac{15}{4 }[/tex].
Ако допуснем, че [tex]q=1=>S_{5}=5b_{5}[/tex], защото всички членове ще са равни. Тогава [tex]\frac{31}{ 8} =\frac{5}{8 }[/tex], което е противоречие.

[m.velichkov]

Опа! Направил си грешка!
Не може от 30q^{5}-31q^{4}+1=0 да се стигне до 30q^{4}(q-1)-(q-1)=0 тъй като разкъсваш 31q^{4} на 31q^4 и q^4, а не на 31q^4 и q, както си направил ти. Тоест ще се получи 30q^{4}(q-1)-(q^{4}-1)=0, което не ни върши особена работа...

[Vulev]

Мда. Ще се търси друг начин. Благодаря!

[Гост1]

Изразът може да се разложи с помощта на схемата на Хорнер. Така намираме, че [tex]q=\frac{1}{2}[/tex] върши работа. Остава кубично уравнение. За него с кратък анализ установяваме, че има два комплексни и един отрицателен корен, който не е приятен. Може да се пресметне точно чрез формулите на Кардано. Може да съществува и по-добре изглеждащ отговор записан чрез тригонометрични функции.

[Vulev]

И аз стигнах дотук като съобразих, че 16+8+4+2+1=31. Въпросът е дали има друга геометрична прогресия със зададените начални условия.

[Vulev]

Едната прогресия е с частно [tex]\frac{1}{2 }[/tex] и първи член 2. Другата прогресия е с частно, което не мога да представя в явен вид, защото откровено не ми се смята. Въпросното частно е [tex]q=\frac{1}{k }[/tex], къдетo k е единственото реално решение на уравнението k³+3k²+7k+15=0 и се намира в интервала (-3,-2).Това число е ирационално.

Ето в този линк, след последната точка и запетая е търсеното k: http://www.quickmath.com/webMathematica ... 5%3D0&v2=k
[tex]b_{1}=\frac{k^{4}}{ 8}[/tex] - Nice, a?

[m.velichkov]

А частно 1 не е ли също решение??

[monika_at]

Да, но тогава всички членове са равни по между си и редицата е константна.

[amsara]

Да, но тогава всички членове са равни по между си и редицата е константна.

В тази задача q не може да е 1 Ако редицата е константа, то всичките й членове ще са равни на 1/8. И тогава сумата от първите 5 трябва да е 5/8, няма как да е дадениете 31/8. Самото условие ни показва, че случаят с q=1 не е изпълнен.