Числови редици

[abc]

Да се намери лицето на триъгълник, ако неговите ъгли имат мерки, образуващи аритметична прогресия, а дължините на радиусите на вписаната и описаната окръжност за дадения триъгълник са равни съответно на r и R.

[pal702004]

Щом ъглите образуват аритметична прогресия, значи единият ъгъл е [tex]60^\circ[/tex].
Срещулежащата страна [tex]c=\sqrt 3 R[/tex]. Сигурно има и по-елегантен начин, но може и с рогите напред.
От [tex]r=\frac{2S}{a+b+c}[/tex] получаваме [tex]r(a+b)=2S-\sqrt 3rR[/tex]
От косинусова теорема:
[tex]3R^2=(a+b)^2-4\sqrt 3 S[/tex] Или [tex]r^2(a+b)^2=3r^2R^2+4\sqrt 3r^2S[/tex]. Първото равенство повдигаме в квадрат, приравняваме и получаваме
[tex]S=\sqrt 3 r(r+R)[/tex]

[abc]

А защо единия ъгъл е 60° и от къде следва, че срещуположната страна е √3R?

[abc]

Това със ъгъла го разбрах, но не се сещам как става това със страната?

[kmitov]

Ами преговори си синусова теорема.

[abc]

Да вярно, благодаря. А рпи използването на косинусовата теорема как се получава -4√3S?