Прогресии с триъгълници.

[abc]

От медианите на даден триъгълник с лице Q е построен втори триъгълник, от медианите на втория триъгълник е построен трети триъгълник и т.н. Да се намери сумата от лицата на всички НОВИ триъгълници.

[pal702004]

Лицето на всеки нов триъгълник е 1/4 от лицето на предният (подобни триъгълници), ...геометрична прогресия

[kmitov]

Според мен е 3/4 от лицето на предния.

[pal702004]

Подобни триъгълници - глупости. Отношението на лицата на всеки от "външните триъгълници" към лицето на големият е
[tex]\frac{S_1}{S}=\frac{a_1b_1\sin{\alpha}}{ab\sin{\alpha}}=\frac 1 4[/tex] Понеже [tex]a_1=a/2,b_1=b/2[/tex]
Външните триъгълници са 3, сумата от лицата им е 3S/4, значи на вътрешният е S/4.

[kmitov]

Може аз да не разбирам добре условието. Кои са външни триъгълници и кой е вътрешен и как те са построени със страни равни на медианите?

[pal702004]

Може аз да не разбирам добре условието. Кои са външни триъгълници и кой е вътрешен и как те са построени със страни равни на медианите?

Прав си, разбира се,...но предполагам (предвид другите задачи на abc), че се е имало предвид от точките на пресичане на медианите със съответните страни е образуван триъгълник. Другото не знам дали може да се определи за всеки триъгълник....ще помисля. Ти си го сметнал 3/4?

Ама направи си е написано - от медианите е образуван триъгълник

[pal702004]

Абсолютно си прав - отношението е 3/4

[kmitov]

Благодаря. Аз се опитах да сложа чертеж ама не успях.

[admin]

Под бутона има Browse - от където се избира файл и след това натискате бутона "Добави файл".

[pal702004]

Потърсих доказателство, че ми стана интересно:
Нека медицентърът на триъгълника ABC е т.М. Продължаваме медианата [tex]BB_1[/tex] до точка К, така че
[tex]MB_1=B_1K[/tex]Четириъгълникът AMCK е успоредник, защото диагоналите му се разполовяват от пресечната им точка. Разглежаме триъгълник KMC.
[tex]\\KC=AM =\frac 2 3 m_a\\
CM=\frac 2 3m_c\\
KM=BM=\frac 2 3 m_b[/tex]

Следователно триъгълник KMC e подобен на триъгълникa със страни медианите, с коефициент на подобие 2/3. А отношенията на лицата е 4/9.
Медианите на триъгълник го разделят на 6 части с равни лица. Eдна от тези части е триъгълник [tex]B_1MC[/tex]

[tex]\\S_{B_1MC}=\frac 1 6 S_{ABC}\\
S_{B_1MC} =\frac 1 2 S_{KMC}[/tex]

Откъдето вече се намира [tex]S_m=\frac 9 4\cdot 2\cdot \frac 1 6 S_{ABC}=\frac 3 4 S_{ABC}[/tex]

...те ти булка, "Прогресии с триъгълници"

[kmitov]

Е аз исках само да сложа чертежа без сметките.

[abc]

Потърсих доказателство, че ми стана интересно:
Нека медицентърът на триъгълника ABC е т.М. Продължаваме медианата [tex]BB_1[/tex] до точка К, така че
[tex]MB_1=B_1K[/tex]Четириъгълникът AMCK е успоредник, защото диагоналите му се разполовяват от пресечната им точка. Разглежаме триъгълник KMC.
[tex]\\KC=AM =\frac 2 3 m_a\\
CM=\frac 2 3m_c\\
KM=BM=\frac 2 3 m_b[/tex]

Следователно триъгълник KMC e подобен на триъгълникa със страни медианите, с коефициент на подобие 2/3. А отношенията на лицата е 4/9.
Медианите на триъгълник го разделят на 6 части с равни лица. Eдна от тези части е триъгълник [tex]B_1MC[/tex]

[tex]\\S_{B_1MC}=\frac 1 6 S_{ABC}\\
S_{B_1MC} =\frac 1 2 S_{KMC}[/tex]

Откъдето вече се намира [tex]S_m=\frac 9 4\cdot 2\cdot \frac 1 6 S_{ABC}=\frac 3 4 S_{ABC}[/tex]

...те ти булка, "Прогресии с триъгълници"

Благодаря, много ми помогна, само имам два въпроса, от къде следва, че отношението е 4/9, и кое означаваш с Sm?

[pal702004]

С [tex]S_m[/tex] е означено лицето на триъгълника със страни медианите на тр-к ABC. Tой е подобен на тр-к KMC с коефицитент на подобие 3/2. Когато в подобни фигури линейният коефициент на подобие е t, то квадратичният (отношението на лицата) е [tex]t^2[/tex]. Или [tex]S_m=\frac 9 4 S_{KMC}[/tex].
От друга страна, лицато на тр-к KMC е два пъти лицето на тр-к [tex]B_1MC[/tex] ([tex]KB_1MC[/tex] е успоредник),
от друга страна лицето на тр-к [tex]B_1MC[/tex] e [tex]\frac 1 6[/tex] от лицето на тр-к ABC. (свойство на медианите).
Въобще това си е една сложна геометрична задача и тривиални допънения като сума на геометрична прогресия са, меко казано, не на място.

[monika_at]

mediani.png (34 KiB) Прегледано 730 пъти

Ето чертеж