Задача с аритметична прогресия

[abc]

За аритметичната прогресия а1, а2, ..., аn, ... с разлика d≠0 е известно, че а8=а1^3 и освен това а1^2 и a1^4 са също членове на прогресията. Да се намерят а1 и d.

[monika_at]

Хубава и интересна задача.

[tex]a_8=a_1^3=>a_1+7d=a_1^3=>d=\frac{a_1^3-a_1}{ 7} ; d\ne 0=>a_1\ne 0; \pm 1[/tex]
Нека [tex]a_1^2=a_k=a_1+(k-1)d; a_1^4=a_l=a_1+(l-1)d[/tex]

[tex]a_2=a_1+d=\frac{a_1^3+6a_1}{7 } ; a_3=a_1+2d=\frac{2a_1^3+5a_1}{7 }, a_4=a_1+3d=\frac{3a_1^3+4a_1}{7 }[/tex] Тогава:

[tex]a_n=\frac{(n-1)a_1^3+(8-n)a_1}{7 }[/tex]=>

[tex]a_1^2=\frac{(k-1)a_1^3+(8-k)a_1}{7 }=>(k-1)a_1^2-7a_1+(8-k)=0=>a_1=1; a_1=\frac{8-k}{k-1 }[/tex] Първата стойност не е решение на задачата.
[tex]a_l=a_k+(l-k)d=>a_1^4-a_1^2=(l-k)\frac{a_1^3-a_1}{ 7}=>a_1^2(a_1^2-1)=(l-k)\frac{a_1(a_1^2-1)}{ 7}=>l=7a_1+k[/tex]=>

[tex]l=\frac{k^2-8k+56}{ k-1} =k-7+\frac{49}{k-1 } ; l-[/tex]-естествено число=>[tex]k=2; 8;50[/tex]Изследваме:
[tex]k=2=>a_1=6; d=30[/tex]
[tex]k=8=>a_1=0[/tex]=>не е решение
[tex]k=50=>a_1=-\frac{6}{ 7}[/tex]разликата ме мързи да я смятам:)