Сумата на четири числа, образуващи геометрична прогресия,е..

[sylvia]

Сумата на четири числа, образуващи геометрична прогресия, е равна на 80. Ако към второто число прибавим 14, към третото 20, към четвъртото 2, а първото оставим без промяна, то получените числа в същия ред образуват аритметична прогресия. Да се намерят първоначалните числа.

[Knowledge Greedy]

Да си изясним задачата:
1. Що е геометрична прогресия?
2. Да означим по някакъв начин членовете и.
3. Да проследим условието на задачата и да запишем с нашите означения променените, според условието, членове.
4. Да си отговорим на въпроса "Що е аритметична прогресия?"
5. На какви зависимости се подчиняват членовете на аритметичната прогресия?
6. Да включим променените членове от точка 3 в една или няколко от зависимостите от точка 5.
7. Конструираме алгебрична система.
8. Ако не можем да решим системата, отново се включваме във форума - с нов въпрос

[sylvia]

Нека числата са a, b, c, d

Тогава a = a1, b = a1q, c = a1q^2, d = a1q^3

А аритметичната прогресия е a = a1, b = a1q + 14, c = a1q^2 + 20, d = a1q^3 + 2

От геометричната прогресия имаме

a1 + a1q + a1q^2 + a1q^3 = 80
a1 (1 + q + q^2 + q^3) = 80

И тук блокирам. Не знам как да изразя нито a1 нито q.
Пробвах със с-вото на аритметичната прогресия d - c = c - b = b - a = d обаче пак не става защото трябва да имам q а не знам как да го изразя...

[Flame]

Нека числата са a, b, c, d
Тогава a = a1, b = a1q, c = a1q^2, d = a1q^3
А аритметичната прогресия е a = a1, b = a1q + 14, c = a1q^2 + 20, d = a1q^3 + 2
От геометричната прогресия имаме
a1 + a1q + a1q^2 + a1q^3 = 80
a1 (1 + q + q^2 + q^3) = 80
И тук блокирам. Не знам как да изразя нито a1 нито q.
Пробвах със с-вото на аритметичната прогресия d - c = c - b = b - a = d обаче пак не става защото трябва да имам q а не знам как да го изразя...

Почти си успяла.
От геометричната получаваме:
[tex]a+a.q a+a.q^2+a.q^3=80[/tex]
[tex]a(1+q+q^2+q^3)=80[/tex]
[tex]a(1+q)(1+q^2)=80[/tex] [tex](1)[/tex]

За аритметичната използваме, че:
[tex]a_1+a_4=a_2+a_3[/tex]

Директно заместваме със стойностите от аритметичната.
[tex]a+q^3.a+2=a.q+14+a q^2+20[/tex]
[tex]a-aq-aq^2+aq^3=32[/tex]
[tex]a(1-q-q^2+q^3)=32[/tex]
[tex]a.(1+q)(q-1)^2=32[/tex] [tex](2)[/tex]

От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] правим система

[tex]\left|\begin{array}{c}a(1+q)(1+q^2)=80 \\a.(1+q)(q-1)^2=32 \end{array}[/tex]

Сега делим двете уравнения
[tex]\frac{a(1+q)(1+q^2) }{a.(1+q)(q-1)^2} =\frac{80}{32}[/tex]

[tex]\frac{(1+q^2)}{(q-1)^2 } =\frac{5}{2}[/tex] - докарахме нещата до квадратно уравнение. По- натам съм сигураен, че ще се справиш.

[sylvia]

Много мерси, Flame! Числата са 2 , 6, 18 и 54.