Средно аритметично

[abc]

Средното аритметично на n реални числа е равно на нула, а средното аритметично от техните квадрати е равно на 1. Да се намери най-голямата възможна стойност, която може да приема произведението на тези числа.

[math10.com]

Използвай неравенството за средно аритметично и средно геометрично:
[tex]\frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2.......a_n}}[/tex] за всяко [tex]a_i \ge 0[/tex]
Лявата страна на неравенството е средно аритметичното на квадратите на числата.Сега като повдигнем на [tex]n[/tex]-та степен ще получим неравенството:
[tex]a_1.a_2.......a_n\le 1[/tex]
Равенство се получава при четно [tex]n[/tex] , когато половината числа са +1 , а другата половина -1

[kmitov]

Според мен най-голямата стойност на произведението ще е 1, само ако [tex]n=4k[/tex]. Ако [tex]n=4k+2[/tex], което пак е четно, произведението ще е -1.

[monika_at]

Нещо не ми харесва...

[kmitov]

Какво му е?

[pal702004]

Естествено, броят на отрицателните числа трябва да е четен.
Лесно се доказва, че оптималният вариант е всички положителни числа да са равни помежду си, както и всички отрицателни.
Малко по-трудно, че броят на положителните и отрицателните трябва да е възможно най-близък. Тоест броят на отрицателните да е [tex]2n[/tex] при общ брой [tex]4n,4n\pm1,4n+2[/tex]
В последният случай е все едно кои ще са повече.

[pal702004]

И масималното произведение при [tex]n=4k+a,a \in (-1,0,1,2)[/tex] е

[tex]\left(\frac{2k}{2k+a}\right)^{\frac a 2}[/tex]

[kmitov]

И масималното произведение при [tex]n=4k+a,a \in (-1,0,1,2)[/tex] е

[tex]\left(\frac{2k}{2k+a}\right)^{\frac a 2}[/tex]

Може ли да дадете пример с [tex]a=-1[/tex]

[math10.com]

Не мога да разбера , за какво спорите.Произведението на числата от задачата не надминава стойност 1 и достига тази стойност при [tex]n=4 , a_1=a_2=-1 ; a_3=a_4=1[/tex].Никъде не пише , че трябва да се достига при всяко [tex]n[/tex].При така зададеното условие търсим максималната стойност на израза за някое [tex]n[/tex].На всичкото отгоре не се пита кога се достига.Това беше просто мое допълнение.Стойност 1 достигаме само при [tex]n=4k[/tex] и точно половината от числата трябва да са -1 , а другата половина +1.При всички останали случай търсената максимална стойност ще е по-малка от едно.

[kmitov]

Никой за нищо не спори, твоето решение е верно. Колегата казва, че при [tex]n=4k-1[/tex] ще се достигне максимално произведение равно на [tex]\left(\frac{2k}{2k-1}\right)^{-1/2}>1[/tex]. Затова попитах за пример.

Кой за какво спори?

[drago]

Що да не спориш Митов, като си е за спор!
Погледнетекакво пише в условието. Дадено е n, и после още някакви условия. Търси се кога неще е максимално. Това явно зависи от n. Даденото решение е частично, тъй като ни открива картинката само за някои n. A за останалите? Това май пита Митов!

[abc]

Къде в решението използвате това, че средното им аритметично е 0

[pal702004]

[tex](\frac{2k}{2k-1})^{-\frac 1 2}=(\frac{2k-1}{2k})^{\frac 1 2}<1[/tex]

[kmitov]

Да бе тук съм сбъркал.

[kmitov]

Мойте сметки беха следните.

Нека числата са [tex]x_1, x_2,\ldots,x_n[/tex].

Ясно е, че ако сред тях има 0, то произведението ще е 0 за каквото и да е n. Затова, ще предполагам, че всичките числа са различни от 0.

Търсим най-голямата стойност на функцията [tex]\Pi=x_1x_2\ldots x_n[/tex] при следните ограничения

[tex]x_1+x_2+\ldots+x_n=0[/tex]

[tex]x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2-n=0[/tex]

Функцията на Лагранж е

[tex]F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1.x_2.\ldots.x_n-\lambda(x_1+x_2+\ldots+x_n)-\mu(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2-n)[/tex]

Като пресметнем частните производни и ги приравним на 0, получаваме системата:
[tex]\left|\begin{array}{l}
\Pi-\lambda x_1-2\mu x_1^2=0\\
\Pi-\lambda x_2-2\mu x_2^2=0\\
\ldots\\
\ldots\\
\Pi-\lambda x_n-2\mu x_n^2=0\\
x_1+x_2+\ldots+x_n=0\\
x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2-n=0\\
\end{array}\right.[/tex]

Kато сумираме първите n уравнения и използваме последните две получаваме [tex]\Pi=2\mu[/tex]
Така системата става

[tex]\left|\begin{array}{l}
2\mu-\lambda x_1-2\mu x_1^2=0\\
2\mu-\lambda x_2-2\mu x_2^2=0\\
\ldots\\
\ldots\\
2\mu-\lambda x_n-2\mu x_n^2=0\\
x_1+x_2+\ldots+x_n=0\\
x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2-n=0\\
\end{array}\right.[/tex]

От първите n уравнения получаваме [tex]x_i=\frac{-\lambda \pm \sqrt{\lambda^2+16\mu^2}}{4\mu}[/tex] за всички [tex]i=1,2,\ldots, n[/tex]
Ясно е сега, че няма как да имаме различен брой положителни и отрицателни x-ове. Следователно [tex]n=2k[/tex] и трябва да вземем равен брой отрицателни и положителни числа.

Нека [tex]x_i=\frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^2+16\mu^2}}{4\mu}[/tex] за [tex]i=1,2,\ldots, k[/tex]

и

[tex]x_i=\frac{-\lambda - \sqrt{\lambda^2+16\mu^2}}{4\mu}[/tex] за [tex]i=k+1,k+2,\ldots, 2k[/tex]

Като заместим в последното уравнение, получаваме

[tex]k\left(\frac{\lambda^2-\2\lambda\sqrt{\lambda^2+16\mu^2}+\lambda^2+16\mu^2}{16\mu^2}\right) + k\left(\frac{\lambda^2+\2\lambda\sqrt{\lambda^2+16\mu^2}+\lambda^2+16\mu^2}{16\mu^2}\right) =2k[/tex]

От тук следва, че

[tex]\frac{4\lambda^2+32\mu^2}{16\mu^2}=2[/tex]

Taка [tex]\lambda =0[/tex] и за произволно [tex]\mu \ne 0[/tex] намираме, че за всяко
[tex]x_i=\frac{-0 \pm \sqrt{0^2+16\mu^2}}{4\mu}=\pm 1[/tex]

Сега произведението [tex]\Pi=(-1)^k.(1)^k=(-1)^k[/tex] и ще е 1 ако и [tex]k[/tex] е четно, т.е. [tex]n=4k.[/tex]