задачи от ДЗИ

[gab4eto_pz11]

Може ли някой да ми каже как се решават 32 и 34 задача? Отговорът на 32 е Б, а на 34 е 4.

[amsara]

От условието поне аз не разбрах първоначално, че се имат предвид не сборно всички изпратени съобщения до края на петия ден, а само тези за самия ден. Иначе е много лесна задачата. Означаваме с х младежите от първия ден.
1 ден - изпратени [tex]5x[/tex] писма
2 ден - изпратени [tex]5x.5=25[/tex]писма
3 ден - изпратени [tex]25x.5=125[/tex] писма

Грешка в сметките, сега поправям.

PS: [tex]5x,25x, 125x, 625x, 3125x[/tex]
[tex]12 500 :3125= 4[/tex]

Или иначе казано става дума за геометрична прогресия с [tex]a_{1}=5x, q=5 => a_{5}=a_{1}.q^4=5x.625=3125x[/tex]
[tex]x=12500:3125=4[/tex]

Може и с директно намиране на х. Но тогава прогресията ще е с 6 члена.
[tex]x,5x...a_{6}=x.5^5=3215x =>12500=3215x=> x=4[/tex]

[gab4eto_pz11]

Благодаря! Аз бях намерила тези числа, но се оплетох и не знаех тази последната бройка дали е само за петия ден или общо до петия ден включително. Ако може и 32 задача да ми обясните такъв тип задачи как да ги решавам?

[gab4eto_pz11]

Спешно е!!!

[kmitov]

Отговорът е [tex]a_n=3n-1[/tex], защото първата формула ще пропусне [tex]2[/tex], третата при [tex]n=1[/tex] дава 1,
което при делене на три дава остатък 1, а четвъртата включва числа, които дават остатък 2, например при [tex]n=1[/tex] и такива, които дават остатък 1 например при [tex]n=3[/tex]

[gab4eto_pz11]

А как мога да го запиша като решение на задачата?

[kmitov]

Ми както е написано.

[ptj]

А как мога да го запиша като решение на задачата?

[tex]3n-1=2+3(n-1)=2,5,8,11,...[/tex] (аритметична прогресия с начален член [tex]a_1=2[/tex] и разлика [tex]d=3[/tex])
[tex]n=1,2,3,... \Leftrightarrow n-1=0,1,2,...[/tex]

Затова правилния отговор е Б).

[gab4eto_pz11]

Благодаря Ви! Изникна ми още една задача, номер 2.1 от тази снимка: А и имам голям списък със задачи давани на ДЗИ, които трябва да реша, за да се подготвя добре за матурата, така че до края на деня, всъщност не след много време днес, може да имам още някои затруднения и ще съм Ви благодарна, ако ми помогнете да ги разреша!

[gab4eto_pz11]

А как мога да го запиша като решение на задачата?

[tex]3n-1=2+3(n-1)=2,5,8,11,...[/tex] (аритметична прогресия с начален член [tex]a_1=2[/tex] и разлика [tex]d=3[/tex])
[tex]n=1,2,3,... \Leftrightarrow n-1=0,1,2,...[/tex]

Затова правилния отговор е Б).

А последния ред не го схващам...

[amsara]

И аз я реших 32-та като ptj, само че малко в обратен ред. Не погледнах кои са формулите и да заместя в тях, а си изкарах директно коя е числовата редица. Нека първият й член е [tex]a_{1}[/tex].
[tex]=> \frac{a_{1}}{ 3}=y+\frac{2}{ 3} =>a_{1}=3y+2[/tex]
При цяла чаcт 0, първият член е 2. [tex]=>a_{1}=3.0+2=2[/tex]
при цяла част 1, вторият член 5. [tex]=>a_{2}=3.1+2=5[/tex]
при цяла част 3,третият член е 8. [tex]=>a_{3}=3.2+2=8[/tex]
Имаме аритметична прогресия с [tex]a_{1}=2; d=3 => a_{n}=a_{1} +(n-1).d= 2+(n-1).3=2+3n-3=3n-1[/tex]

[ptj]

[tex]a_1=32[/tex] грама е началното количество йод-131.

[tex]q=\frac{1}{2 }[/tex] е количеството, с което намаля йода след период на полуразпад.

[tex]a_n[/tex] е количеството наличен йод след [tex](n-1)[/tex] периода на полуразпад.

[tex]t_n=8(n-1)[/tex] е времето в дни за достигане на члена [tex]a_n[/tex].


В условието е дадено [tex]a_n=a_1.q^{(n-1)}=1[/tex] ,

т.е. [tex]a_n=32.(\frac{1}{2 })^{(n-1)}=1[/tex]

[tex]\frac{32}{2^{(n-1)}}=1[/tex]

[tex]n=6[/tex]

[tex]t_n=8(n-1)=8(6-1)=40[/tex] дни

[gab4eto_pz11]

Какво имаш предвид под "цяла част" и защо има въведено y?

[ptj]

За 32.)

Когато [tex]n[/tex] пробягва редицата на естествените числа, то [tex](n+1)[/tex] пробягва 0,1,2,3,...
Във формулата за общ член на аритметичната прогресия, това са съответните коефициенти пред [tex]d[/tex].

[amsara]

Ами как какво? При деление с остатък винаги има частно, което е = цяло число + остатъка. С у е означена именно тази цяла част.


ptj, не е ли по-прецизно да се напише, че с [tex]q=\frac{1}{2 }[/tex] означаваме колко пъти е намалял разтворът след всеки период ? Частното на прогресията [tex]q[/tex] не е количество.

[ptj]

Забележката на amsara е правилна.

[gab4eto_pz11]

[tex]a_1=32[/tex] грама е началното количество йод-131.

[tex]q=\frac{1}{2 }[/tex] е количеството, с което намаля йода след период на полуразпад.

[tex]a_n[/tex] е количеството наличен йод след [tex](n-1)[/tex] периода на полуразпад.

[tex]t_n=8(n-1)[/tex] е времето в дни за достигане на члена [tex]a_n[/tex].


В условието е дадено [tex]a_n=a_1.q^{(n-1)}=1[/tex] ,

т.е. [tex]a_n=32.(\frac{1}{2 })^{(n-1)}=1[/tex]

[tex]\frac{32}{2^{(n-1)}}=1[/tex]

[tex]n=6[/tex]

[tex]t_n=8(n-1)=8(6-1)=40[/tex] дни

Не схванах откъде идва n-1 и формулата за an след това?

[amsara]

Как не знаеш от къде? Нали си има формула за членовете на геометрична прогресия?
[tex]a_{n}=a_{1}.q^{n-1}[/tex]

[gab4eto_pz11]

Леле съвсем съм откачила. Прави сте. 21.задача от следващата снимка наистина е трудна и нямам никаква идея какво да правя, а нямам и отговори.

[loving_math]

[tex]a_{1}=54[/tex].След малко ще пусна решението.

[loving_math]

Означаваме с [tex]a_{1}[/tex] първия член на прогресията и с [tex]d[/tex]нейната разлика.
Проблемът е обаче, че не знаем дали прогресията е с разлика положително или отрицателно цяло число, заради което трябва да съобразим, че разликата на първите 6 члена и на следващите 6 трябва да е в модул.
[tex]|S_{6}-(S_{12}-S_{6})| \le 450 <=> |2S_{6}-S_{12}| \le 450[/tex]
[tex]S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{ 2}.6=3(a_{1}+a_{6})=3(2a_{1}+5d)=6a_{1}+15d[/tex]
[tex]S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{ 2}.12=6(a_{1}+a_{12})=6(2a_{1}+11d)=12a_{1}+66d[/tex]
[tex]=>|2S_{6}-S_{12}|\le 450 <=> |12a_{1}+30d-12a_{1}-66d|\le 450 <=> |-36d|\le 450 <=> 36.|d|\le 450[/tex]
[tex]|d|\le \frac{450}{ 36} => |d|\le \frac{25}{ 2}[/tex]
Но разликата на прогресията е цяло число =>[tex]|d|\le 12 => -12 \le d \le 12[/tex] (1)
Преминаваме на неравенство 2. По условие [tex]S_{5}-S_{6}\ge 6 <=> S_{5}-(S_{5}+a_{6})\ge 6[/tex]
[tex]=>S_{5}-S_{5}-a_{6}\ge 6 <=> a_{6} \le -6[/tex] (2)
Преминаваме на неравенство 3.[tex]S_{5}-S_{4}\ge 6 <=> S_{5} -(S_{5}-a_{5})\ge 6 <=> a_{5}\ge 6[/tex] (3)
Събираме почленно неравенства (2) и (3).
[tex]a_{6}+6 \le a_{5} -6 , a_{6}-a_{5} \le -12 => d=-12, a_{5}=6, a_{6}=-6[/tex]
[tex]=> a_{1}=a_{6}-5d = -6-5.(-12)=-6 +60=54[/tex]

[gab4eto_pz11]

Благодаря много!!!

[gab4eto_pz11]

А след като намерихте разликата, че е -12, как точно получихте a5 i a6?

[gab4eto_pz11]

Спъна ме и 12. задача от ТУ 2008. Отговорът е 4, но как да стигна до него? Замествах, съставих уравнения и все доникъде стигам.

[math10.com]

[tex]a_1=a ; a_2=a.q ; a_3=a.q^2[/tex]
[tex]a_2>a_1 \Rightarrow q>1[/tex]
[tex]\Rightarrow a+1=a.q \Rightarrow a=\frac{1}{q-1}[/tex] трябва да е цяло
[tex]a_3-a_2=\frac{q^2-q}{q-1}=\frac{q(q-1)}{q-1}=q ;[/tex] трябва да е цяло[tex]\Rightarrow q\ge 2[/tex]
За [tex]q\ge 2\Rightarrow \frac{1}{q-1}\le 1\Rightarrow q=2 \Rightarrow a_3=4[/tex]