Доказателства и прогресии

[Петър Евгениев]

Докажете , че ако: [tex]a_{1 },a_{2 },a_{3 },... (a_{k }\ne0)[/tex] е аритметична прогресия, то
[tex]\frac{1}{a_{1 }a_{2 }}+\frac{1}{a_{2 }a_{3 }}+...+\frac{1}{a_{n-1 }a_{n }}=\frac{n-1}{a_{1 }a_{n }}[/tex]
Кой как иска да го доказва;
Обяснение , ако може все пак.

[grav]

[tex]\frac1{a_i}-\frac1{a_{i+1}}=\frac{d}{a_ia_{i+1}}[/tex]

[Петър Евгениев]

Моля..
Обяснява се тва онова , 1 ред ни дума ни нищо ;-;

[Knowledge Greedy]

Това ( grav » Вто Дек 19, 2017 8:19 pm) е една от най-ценните препоръки.
Още повече, че

...
Кой как иска да го доказва;...

Ако човек разгледа внимателно равенството
[tex]\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}=\frac{d}{a_ia_{i+1}}[/tex],
ще забележи, че то може да се запише и така
[tex]\frac{1}{a_ia_{i+1}}=\frac{1}{d}\left ( \frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}} \right )[/tex]

Докажете , че ако: ... ...; Обяснение , ако може все пак.

И сега вече (в контекста на въпроса на питащия) идва ред на различните стойности на [tex]i[/tex].
След като съберем всички такива равенства - за [tex]i=1, i=2, ..., i=n-1[/tex], ще получим лявата страна на въпросното равенство, а за дясната - следното:
[tex]\frac{1}{d} \left [ \left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2} \right ) + ... + \left ( \frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n} \right ) \right ][/tex]
Всички вътрешни събираеми (- без първото в първия чифт скоби и без последното в последните скоби) ще се унищожат и в дясната страна ще остане [tex]\frac{1}{d}\left ( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n}} \right )[/tex]
А дали това е дясната страна на равенството, което трябваше да докажем?

[Петър Евгениев]

Е супер да мерси.
МЕРСИ НА ВСЕКИ, ИЗВИНЯВАМ, СЕ ЧЕ ТАКА РЕАГИРАХ!

[Genie_Almo]

1) при $n=2$ имаме $\frac{1}{a_{1 }a_{2}}=\frac{2-1}{a_{1 }a_{2}}$ , което е вярно твърдение.

2) Правим обоснован извод, че съществува такова $k\ge2$, че [tex]A = \frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} +...+ \frac{1}{a_{k-1}a_{k}} = \frac{k-1}{a_{1 }a_{k}}[/tex]

3) За $n=k+1$ и като вземем под внимание горното имаме, че

$\frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} +...+ \frac{1}{a_{k-1}a_{k}} + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = A + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{k-1}{a_{1 }a_{k}} + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}}$

Привеждаме последното под общ знаменател:

$\frac{k-1}{a_{1 }a_{k}} + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{(k-1)a_{k+1}+a_{1}}{a_{1}a_{k}a_{k+1}}$

Само в числителя изразяваме $a_{k+1}$ и $a_{1}$ чрез $a_{k}$ и $d$ (разликата на прогресията):

$\frac{(k-1)a_{k+1}+a_{1}}{a_{1}a_{k}a_{k+1}} = \frac{(k-1)(a_{k}+d)+a_{k}-(k-1)d}{a_{1}a_{k}a_{k+1}} = \frac{(k-1)(a_{k})+a_{k}}{a_{1}a_{k}a_{k+1}} = \frac{k(a_{k})}{a_{1}a_{k}a_{k+1}} = \frac{k}{a_{1}a_{k+1}}$

Следователно $\frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} +...+ \frac{1}{a_{k-1}a_{k}} + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = A + \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{k}{a_{1}a_{k+1}}$

И така по индуктивен път доказваме, че равенството е изпълнено за всяко $n\ge2$.