Доказателства задачи

[Петър Евгениев]

Да се докаже,че [tex]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}[/tex]
По два начина, като едния е индукция , т.е с индукция и по още един начин.
Дали са хората Упътване да се използва [tex](a+b)^{4}[/tex]
С индукция стигам до нещо дет не знам какво да правя:
[tex](1+2+3+...+n)^{2}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+1)^{2}[/tex] - Туй, ако го докажа вярно , съм го доказал с индукция.

[Добромир Глухаров]

$1+2+3+\cdots+n-1=\frac{(n-1)n}{2}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots+(n-1)^3=(1+2+3+\cdots+n-1)^2=\frac{(n-1)^2.n^2}{4}$

$1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3+n^3=\frac{(n-1)^2.n^2}{4}+n^3=\frac{n^4-2n^3+n^2+4n^3}{4}=\frac{n^2}{4}(n^2+2n+1)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+3+\cdots+n)^2$

[ptj]

Трябва да докажеш :
[tex](k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^{2}-(1+2+3+...+k)^{2}[/tex]
Преобразувай дясната страна , като използваш формула за разлика на 2 квадрата, представена като произведение на техния сбор с тяхната разлика.
[tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]

П.С.
[tex](1+2+3+...+k)=\frac{k(k+1)}{2}[/tex],

[tex](1+2+3+...+k+(k+1))=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex].

[Добромир Глухаров]

$(1+1)^4=1^4+4.1^3.1+6.1^2.1^2+4.1.1^3+1^4$
$(2+1)^4=2^4+4.2^3.1+6.2^2.1^2+4.2.1^3+1^4$
$(3+1)^4=3^4+4.3^3.1+6.3^2.1^2+4.3.1^3+1^4$
...
$(n+1)^4=n^4+4.n^3.1+6.n^2.1^2+4.n.1^3+1^4$

Събираме горните равенства:

$\cancel{2^4}+\cancel{3^4}+\cdots+\cancel{n^4}+(n+1)^4=1^4+\cancel{2^4}+\cancel{3^4}+\cdots+\cancel{n^4}+4.(1^3+2^3+\cdots+n^3)+6.(1^2+2^2+\cdots+n^2)+4.(1+2+3+\cdots+n)+n.1^4$

$(n+1)^4=1+4.(1^3+2^3+\cdots+n^3)+6.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4.\frac{n(n+1)}{2}+n$

$n^4+4n^3+6n^2+4n+1=1+4.(1^3+2^3+\cdots+n^3)+(2n+1)(n^2+n)+2n^2+2n+n$

$4.(1^3+2^3+\cdots+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-2n^2-n^2-n-2n^2-2n-n$

$4.(1^3+2^3+\cdots+n^3)=n^4+2n^3+n^2=n^2(n+1)^2$

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=(1+2+3+\cdots+n)^2$

Ако не знаем формулата $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, можем да си я изведем от $(a+b)^3$ по аналогичен начин.

[Петър Евгениев]

Супер сте ей