Доказателства и прогресии

[Петър Евгениев]

Докажете , че ако n е нечетно естесвено число ,то
[tex]a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}.b+...-a.b^{n-2}+b^{n-1})[/tex]
Упътване. Използвайте фоормулата за с бора на първите н члена на геометрична прогресия с първи член 1 и частно [tex]q=-\frac{a}{b}[/tex].

[Добромир Глухаров]

$a^{n-1}-a^{n-2}.b+a^{n-3}.b^2-\cdots+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}=b^{n-1}\left(\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}-\frac{a^{n-2}}{b^{n-2}}+\frac{a^{n-3}}{b^{n-3}}-\cdots+\frac{a^2}{b^2}-\frac{a}{b}+1\right)=b^{n-1}\cdot\frac{\left(-\frac{a}{b}\right)^n-1}{-\frac{a}{b}-1}=b^{n-1}\cdot\frac{b}{b^n}\cdot\frac{-a^n-b^n}{-a-b}=\frac{b^n}{b^n}\cdot\frac{a^n+b^n}{a+b}=\frac{a^n+b^n}{a+b}$

$a^{n-1}-a^{n-2}.b+a^{n-3}.b^2-\cdots+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}=\frac{a^n+b^n}{a+b}$

Остава да умножим двете страни по $a+b$.

Забележка: Тъй като $n$ е нечетно, $\left(-\frac{a}{b}\right)^n=-\frac{a^n}{b^n}$, което сме използвали.