Доказателства и прогресии

[Петър Евгениев]

Да се докаже,че [tex]x^{5}+1=(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)[/tex]
(Без индукция);
Пробвах и сам стигам до някъде, никъде.. не знам

[Davids]

Ами такова бе пич, защо просто не разкриеш скобите вдясно? Извършваш си умножението, става едно масово съкращаване и ти остава $x^5 + 1$

[Петър Евгениев]

Каквото и да кажа ще е тъпо сега, защото даже вече съм пуснал задача за общия вид на това и ми отговориха,
Ама туй го има като задача в учебника 100% не са имали предвид масово разкриване на скоби то е ясно ,че ще стане .
П.С.
Край на темата "Всичко е точно"

[Genie_Almo]

Разкриването на скоби си е валиден метод, ама хайде да речем, че дясната част я нямаме, но много искаме да разложим на множители. Затова ето един по-конструктивен подход.

$x^5+1 = x^5+x^4-x^4+1 = x^4(x+1)-(x^2-1)(x^2+1)=x^4(x+1)-(x-1)(x+1)(x^2+1)=(x+1)(x^4-(x-1)(x^2+1))=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$

Но не виждам как напълно ще елиминираме действия като разкриване на скоби и изнасяне пред скоби, след като от нещо без скоби получаваме същото нещо със скоби.

Има и друг метод, при който ако съобразим, че $-1$ е корен на полинома $x^5+1$, това директно означава, че $x^5+1 = (x+1)P(x)$ , където $P(x)$ е полином от четвърта степен на $x$ и там вече следвайки методиката намираме коефициентите на $P(x)$, като по същия начин можем да продължим да разлагаме $P(x)$ и т.н., докато не приведем първоначалния полином във вид на произведение на неразложими полиноми (Схема на Хорнер).

[KOPMOPAH]

Да се докаже,че [tex]x^{5}+1=(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)[/tex]
(Без индукция);
...

На мен ми е интересно как може да се докаже С индукция

[Петър Евгениев]

Хубаво е на човек да му е интерестно