Още задачи

[Петър Евгениев]

Пет различни числа образуват аритметична прогресия. Първото, четвъртото и петото число образуват геометрична прогресия. Намерете частното на геометричната прогресия


Намерете х, ако sinx,sin2x,sin3x образуват аритметична прогресия.

[Davids]

Пет различни числа образуват аритметична прогресия. Първото, четвъртото и петото число образуват геометрична прогресия. Намерете частното на геометричната прогресия

Ако първото число е $a$, то четвъртото и петото са равни респективно на $a + 3d = aq$ и $a + 4d = aq^2$.
Изразяваме го в система:
[tex]\begin{array}{|l} a + 3d = aq \\ a + 4d = aq^2 \end{array}[/tex]
Изваждаме почленно първото от второто и изразяваме $d = aq(q - 1)$ и заместваме в което и да е от двете уравнения:
$a + 3aq(q - 1) = aq$
$a(1 + 3q^2 - 4q) = 0$
И тъй като $a$ се явява първи член на геометрична прогресия от различни числа, то $a$ не може да бъде 0. Следователно остава:
$3q^2 - 4q + 1 = 0$
Решения са съоветно $q_1 = \frac{1}{3}; q_2 = 1$

Намерете х, ако sinx,sin2x,sin3x образуват аритметична прогресия.

Тук ще използваме свойството на средното аритметично от аритметична прогресия, т.е.:
$2sin2x = sinx + sin3x = sinx + sin2x.cosx + cos2x.sinx$
Преобразуваме, групираме и достигаме:
$sin2x(2 - cosx) = sinx(1 + cos2x)$
Разлагаме $cos2x = 2cos^2x - 1$ и получаваме:
$sin2x(2 - cosx) = 2sinxcos^2x = sin2x.cosx$
Прехвърляме отляво и групираме:
$sin2x(2 - 2cosx) = 4sinxcosx(1 - cosx) = 0$
И вече разглеждаме три случая:
I) $sinx = 0 \Rightarrow x = k\pi$
II) $cosx = 0 \Rightarrow x = (\frac{1}{2} + k)\pi$
III) $cosx = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$
Обединението от трите случая ни дава решението.