Сума на прогресия

[Петър Евгениев]

Да се пресметне сумата [tex]1.2^{0}+2.2^{1}+3.2^{2}+...+n.2^{n-1}[/tex]
Отговор : [tex](n-1).2^{n}+1[/tex]
ВЕСЕЛА КОЛЕДА!

[Davids]

Да се пресметне сумата [tex]1.2^{0}+2.2^{1}+3.2^{2}+...+n.2^{n-1}[/tex]
Отговор : [tex](n-1).2^{n}+1[/tex]
ВЕСЕЛА КОЛЕДА!

Изключително много ми се понрави задачата, трябва да призная, браво! Чак изпитах онова топло удоволствие от решението на комплексна задача, и то такава, която някак е попаднала в полезрението и на други заинтересовани индивиди
Ще процедираме с едно първоначално опростяване на сумата:
$\sum_{k=1}^{n}k.2^{k-1} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k.2^k$ и вече се фокусираме изцяло върху сумата $\sum_{k=1}^{n}k.2^k$
Продължавам с лека корекция: не е сума на прогресия, а на числова редица в случая, която обаче се явява произведение на две прогресии - аритметична и геометрична. (За произведение на две прогресии се приема такава числова редица, всеки член на която е равен на произведението на съответните членове от двете прогресии).
В случая имаме първа аритметична прогресия с първи член $a$, равен на разликата на прогресията, която е 1. Имаме: $a = d = 1$
Втората прогресия е геометрична, като за нея имаме първи член $b = q = 2$
Умишлено не съм сложил индексите пред първите членове, защото ще ги ползваме предимно в този им вид, та да, позволих си да наруша конвенцията.
Та гореизразената търсена сума (също означена $S_n$) можем да изразим по следния начин:
$S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k.b_k = ab + (a+d).bq + (a + 2d).bq^2 + ... + [a + (n-1)d]bq^{n-1}$
Сега започваме вече изкуственото извеждане на формули. Първа стъпка: умножаваме двете страни по частното на геометричната прогресия $q$ и изразяваме:
$qS_n = abq + (a+d)bq^2 + (a+2d)bq^3 + ... + [a + (n-1)d]bq^n$
Изваждаме $qS_n$ от $S_n$:
$S_n - qS_n = (1-q)S_n = $
$= \{ ab + (a+d).bq + (a + 2d).bq^2 + ... + [a + (n-1)d]bq^{n-1} \} $
$- \{abq + (a+d)bq^2 + (a+2d)bq^3 + ... + [a + (n-1)d]bq^n\}$
Разкриваме скобите:
$= \{ ab + (\cancel{abq} + dbq) + (\cancel{abq^2} + 2dbq^2) + (\cancel{abq^3} + 3dbq^3) + ... + \cancel{abq^{n-1}} + (n-1)dbq^{n-1} \} $
$- \{\cancel{abq} + (\cancel{abq^2} + dbq^2) + (\cancel{abq^3} + 2dbq^3) + (\cancel{abq^4} + 3dbq^4) + ... + \cancel{abq^{n-1}} + (n-2)dbq^{n-1} + [a + (n-1)d]bq^n \}$
Надявам се голямото съкращаване да е станало ясно (и също нали че именно то беше идеята на действията досега ). Та, вече можем да разкрием най-големите скоби и да извъриш едно вътрешно групиране:
$(1-q)S_n = ab + db[q - q^2 + 2q^2 - 2q^3 + 3q^3 - 3q^4 + ... + (n-1)q^{n-1} - (n-2)q^{n-1}] - [a + (n-1)d]bq^n =$
Извършваме по двойки аритметичните действия в скобите с $q$-тата и достигаме до:
$= ab + db(q + q^2 + q^3 + ... + q^{n-1}) - [a + (n-1)d]bq^n$
В скобите остана сума на първите $n-1$ члена на геометрична прогресия с първи член, равен на частното $q$. Заместваме с формулата и достигаме:
$(1-q)S_n = ab + dbq\frac{1-q^{n-1}}{1-q} - [a + (n-1)d]bq^n$
Останаха финалните щрихи - да разделим на $(1-q)$ и да получим формулата за общия вид на сумата на произведението на аритметична и геометрична прогресии:
$S_n = \frac{ab - [a + (n-1)d]bq^n}{1-q} + \frac{dbq(1-q^{n-1})}{(1-q)^2} $
$= \frac{b}{1-q}\left (a - [a + (n-1)d]q^n + \frac{d(q - q^n)}{1 - q} \right )$

Остана в случая само да заменим с изведените в началото на това така комплексно разсъждение стойности И получаваме:
$S_n = \frac{2}{1 -2}\left (1 - [1 + (n-1)1]2^n + \frac{1(2 - 2^n)}{1 - 2} \right ) = -2(1 - n.2^n - 2 + 2^n) = -2[-(n-1)2^n - 1] = 2[(n-1)2^n + 1]$
От която сума всъщност на нас ни трябва половинката поради опростението, което си направихме горе още в първите редове.
И окончателен отговор е $\sum_{k=1}^{n}k.2^{k-1} = (n-1)2^n + 1$

П.П.: С основни заслуги на Wikipedia за основополагащата концепция

[KOPMOPAH]

Поздравления и искрено възхищение за академичния и подробен отговор!

П.С. Весели празници, честито Рождество и щастлива Нова година!

[pal702004]

Само да допълня, още един метод - с помощта на анализа

$1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=(1+x+x^2+\cdots +x^n)'=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$

Заместваме $x=2$

Поправих последното равенство.

Весели празници!

[Петър Евгениев]

Това беше най-доброто обяснение на трудна задача която съм пускал супер много съм Благодарен.(ТОВА В УИКИПЕДИЯ ДОБРЕ ,ЧЕ ГО ПРАТИ)
Забележете трудна е относително понятие.

[Davids]

Само да допълня, още един метод - с помощта на анализа

$1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=(1+x+x^2+\cdots +x^n)'=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$

Заместваме $x=2$

Поправих последното равенство.

Весели празници!

Всъщност точно това е бил и оригиналния замисъл на задачата в този й вид... изящно!
Ама аз обичам да си играя с математическата фундаменталистика, та тази задача беше като един добър повод да споделя теорията горе, която от едно известно време ми се струва крайно интересна
Отново огромни адмирации за всички вас, колегите, и весели празници!

[inveidar]

Да разгледаме редицата с общ член [tex]a_n=n.2^n[/tex]. Тогава
[tex]a_2-a_1=3.2^1[/tex]
[tex]a_3-a_2=4.2^2[/tex]
.....................
[tex]a_n-a_{n-1}=(n+1).2^{n-1}[/tex].
Събираме почленно и получаваме
[tex]a_n-a_1=3.2^1+4.2^2+...+(n+1).2^{n-1}[/tex], което е
[tex]n.2^n-2=2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}+2^1+2^2+...+2^{n-1}[/tex]
[tex]n.2^n-1=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}+2.\frac{2^{n-1}-1}{2-1}[/tex].
След това е лесно.

[inveidar]

Може и така. Нека [tex]S=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}[/tex]. Тогава
[tex]\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+2.2^0+3.2^1+...+n.2^{n-2}[/tex]
[tex]\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+2.2^0+3.2^1+...+n.2^{n-2}+(n+1).2^{n-1}-(n+1).2^{n-1}[/tex]
[tex]\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+1.2^0+2.2^1+...+(n-1).2^{n-2}+n.2^{n-1}-(n+1).2^{n-1} +2^0+2^1+2^2+...+2^{n-1}[/tex]
[tex]\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+S-(n+1).2^{n-1} +2^n-1[/tex].
След това е ясно.