Геометрична прогресия

[mathinvalidnik]

Произведението на първите 5 члена на ГП е равно на 32,а сборът от кубовете на първите й 3 члена е равен на [tex]\frac{73}{8 }[/tex] Да се намери прогресията.

[martin123456]

[tex]a,aq,aq^2,aq^3,aq^4[/tex] нека са членовете
[tex]a^5q^{10}=32[/tex]<=>[tex](aq^2)^5=2^5[/tex]<=>[tex]aq^2=2[/tex]
значи прогресията е [tex]a,aq,5,5q,5q^2[/tex]

от другото условие
[tex]a^3+a^3q^3+2^3=\frac{73}{8}[/tex]<=>(заместваме от 1вото) [tex]a^3+2a^2q+2^3=\frac{73}{8}[/tex] умножаваме го по [tex]q^2[/tex]:
[tex]2a^2+4aq-\frac{9}{8}q^2=0[/tex] делим на [tex]q^2[/tex] и полагаме [tex]t=\frac{a}{q}[/tex]
[tex]2t^2+4t-\frac{9}{8}=0[/tex]. [tex]D=16-9=7[/tex]
дано нямам грешка някъде с тази странна дискриминанта
имаш ли отговорите

[mathinvalidnik]

трябва да получиш [tex]\frac{1}{2 },1,2[/tex] и [tex]\frac{3\sqrt[3]{3} }{2 },-\sqrt[3]{9} ,2[/tex]

[martin123456]

не разбирам - това са 6 числа..и не са в геометрична програсия

[indy]

[tex]2t^2+4t-\frac{9}{8}=0[/tex]. [tex]D=16-9=7[/tex]
дано нямам грешка някъде с тази странна дискриминанта

От много препускане и дискриминанта не можеш да сметнеш!
Бягай в леглото!

[mathinvalidnik]

[tex]\begin{tabular}{|l}a_{1}.a_{2}.a_{3}.a_{4}.a_{5}=32\\a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}=\frac{73}{8 }\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a_{1}^{5}.q^{10}=32 => (a_{1}.q^{2})^{5}=2^{5} => \fbox{a_{3}=2}\\a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}=\frac{73}{8 }\end{tabular}[/tex]

[tex]a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+2^{3}=\frac{73}{8 }[/tex] <=> [tex]a_{1}^{3}+a_{2}^{3}=\frac{9}{8 }(1)[/tex] сега тук от [tex]a_{3}=a_{1}.q^{2}=2[/tex] е добре да се изрази [tex]\fbox{a_{1}=\frac{2}{q^{2} }}[/tex]

заместваме в (1): [tex]\underbrace{\frac{8}{q^{6} }+\frac{8}{q^{3} }=\frac{9}{8 }}_{8.q^{6}}[/tex] <=> [tex]9q^{6}-64q^{3}-64=0[/tex] пол. [tex]\fbox{q^{3}=t}[/tex] <=> [tex]9t^{2}-64t-64=0 ; D=6400 = 80^{2} , t_{1,2}=\frac{64\pm80 }{18 }[/tex] [tex];t_{1}=8,t_{2}=\frac{-8}{9 }[/tex] и сега се връщаме в полагането и имаме в случая с 2 различни частни.именно от тук се пораждат 2те числови редици. 1)[tex]q^{3}=8 <=> q=2 \cap 2) q^{3}= \frac{-8}{9 } <=> q=\frac{-2}{\sqrt[3]{9} } <=> a_{1}=\frac{\sqrt[3]{9}^{2} }{2 }=\frac{3\sqrt[3]{3} }{2 }[/tex]


1) [tex]a_{3}=2,q=2 => a_{3}=a_{1}.q^{2} => 2=a_{1}.4 => a_{1}=\frac{1}{2 }[/tex]


[tex]a_{2}=a_{1}.q=1[/tex] => следва ,че ЧР1 е [tex]\red \frac{1}{2 },1,2[/tex]

2) Аналогично - [tex]a_{3}=2,q=\frac{-2}{\sqrt[3]{9} } => a_{3}=a_{1}.q^{2} <=> 2=a_{1}.\frac{4}{\sqrt[3]{9}^{2} }<=> a_{1}=\frac{\sqrt[3]{9}^{2} }{2 }=\frac{3\sqrt[3]{3} }{2 }[/tex]
[tex]a_{2}=a_{1}.q=\frac{3\sqrt[3]{3} }{2 }.\frac{-2}{\sqrt[3]{9} }=-\sqrt[3]{9}[/tex]

ЧР2 - [tex]\red \frac{3\sqrt[3]{3} }{2 },-\sqrt[3]{9},2[/tex]

п.п аз на отговорите дето съм ги постнал съм дал 'и' това поне според мен значи,че съществуват 2 ЧР .Аз дадох тия 3 членове на редиците понеже те са напълно достатъчни.не виждам смисъл като имаш 1вия член и частното на 1 редица какъв е смисъла да пишеш всичките членове.една редица мисля,че се определя само от първия си член и частното(разликата) аз мога да напиша кои са 5ти,6ти,7ми н-ти .... член но това се подразбира.може би след отговорите дето постнах трябваше да напиша '.........' ама както и да е

[mathinvalidnik]

Сумата на първите n члена на ГП с положителни членове е равна на s,а сумата от реципрочните им стойности е равна на t.Да се намери произведението им.

[martosss]

е, какво сложно има в тази?
[tex]a_1(1+q+q^2+\dots +q^{n-1}=t\\\frac{1}{a_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\dots \frac{1}{q^n-1}\right)=s[/tex]
търси се произведението, тоест [tex]a_1q^{\frac{n(n-1)}{2}}=\cyr{v\cdprimepros[/tex]
Сега от формулите за сума на геом. прогресия намираме:
[tex]a_1\frac{1-q^n}{1-q}=t\Right \fbox{a_1\frac{1-q^n}{1-q}=t}[/tex]
От второто получаваме
[tex]\frac{1}{a_1}\frac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}}=s\Leftright \frac{1}{a_1}\frac{q^n-1}{q-1}*\frac{1}{q^{n-1}}=s\Leftright \frac{1}{a_1^2}\fbox{a_1\frac{1-q^n}{1-q}}*\frac{1}{q^{n-1}}=s[/tex] и заместваме с полученото по-горе:
[tex]\frac{t}{a_1^2}\frac{1}{q^{n-1}}=s[/tex]
Оттук от километър се забелязва, че
[tex]a_1^2q^{n-1}=\frac{t}{s}[/tex].
Остава само да повдигнеш на [tex]\frac{n}{2}[/tex]-ра степен и да получиш
[tex]a_1^nq^{\frac{n(n-1)}{2}}=\left(\sqrt{\frac{t}{s}\right)^n[/tex]

[MMaster]

Да се намери сумата на [tex]9 +99+ ...+\underbrace{99...9}_{n}[/tex]. На какъв принцип става намирането?

[ganka simeonova]

Да се намери сумата на [tex]9 +99+ ...+\underbrace{99...9}_{n}[/tex]. На какъв принцип става намирането?

Изнеси 9 пред скоби. Тогава трябва да намериш сумата [tex]1 +11+ ...+\underbrace{11...1}_{n}[/tex]

[tex]\underbrace{11...1}_{k}=10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0[/tex]-формула за сума на ГП

Приложи я за всички събираеми..

[MMaster]

Благодаря за помощта!