Прогресии, давана в СУ

[ivanova74@abv.bg]

В триъгълник АВС медианата през т.А е перпендикулярна на АВ. Намерете cos на ъгъл САВ, ако
а) дължините на страните на триъгълника образуват аритметична прогресия
б) мерките на ъглите на триъгълника образуват аритметична прогресия

[S.B.]

а)Даден е [tex]\triangle ABC, AM \bot AB,AM = MC[/tex] , страните образуват аритметична прогресия : [tex]a - d , a , a + d[/tex],като [tex]a>0,d>0 , a > d[/tex]
[tex]\angle CAB = \angle CAM + 90^\circ \Rightarrow[/tex] най - голямата страна е [tex]AC \Rightarrow AC = a + d[/tex] ;
Продължаваме медианата [tex]AM[/tex] до т.[tex]N[/tex] така,че [tex]AM = MN[/tex]. [tex]ABNC[/tex] е успоредник (понеже диагоналите [tex]BC и AN[/tex]се разполовяват) и тогава [tex]AC = NB[/tex] .Разглеждаме [tex]\triangle ABN : \angle BAN = 90^\circ \Rightarrow NB > AB \Rightarrow NB = a , AB = a - d[/tex]
Получихме прогресията : [tex]AB (= a - d) , AC (= a ), BC (= a + d)[/tex]
[tex]\angle CAB = \angle CAM + 90^\circ[/tex] ,нека [tex]\angle CAM = \gamma[/tex],тогава [tex]\angle CAB = 90^\circ + \gamma \Rightarrow cos \angle CAB = cos(90^\circ + \gamma) = -sin\gamma[/tex]
В успоредника [tex]ABNC : \angle CAM = \angle CAN = \angle ANB = \gamma[/tex] ;
От правоъгълния [tex]\triangle ABN : sin\gamma = \frac{AB}{BN} , - sin\gamma = - \frac{AB}{BN}[/tex]
[tex]cos \angle CAB = - sin\gamma = - \frac{AB}{BN}[/tex], но [tex]BN = AC \Rightarrow cos \angle CAB = - \frac{AB}{AC} = - \frac{a - d}{a} = -1 + \frac{d}{a}[/tex]

[Добромир Глухаров]

a) $AB=1;\ AC=1+d;\ BC=1+2d$; $4m_a^2=2c^2+2b^2-a^2=2+2(1+d)^2-(1+2d)^2$. Питагор: $1+m_a^2=(\frac{1}{2}+d)^2\Rightarrow 4+4m_a^2=(1+2d)^2$

$4+2+2(1+d)^2-(1+2d)^2=(1+2d)^2$; $(1+d)^2-(1+2d)^2+3=0$; $3d^2+2d-3=0$; $d_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$, но $d>0\Rightarrow d=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$; $AC=1+d=\frac{2+\sqrt{10}}{3};\ BC=1+2d=\frac{1+2\sqrt{10}}{3}$

Косинусова Теорема: $cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{1+\frac{14+4\sqrt{10}}{9}-\frac{41+4\sqrt{10}}{9}}{\frac{4+2\sqrt{10}}{3}}=\\=\frac{-18}{12+6\sqrt{10}}=-\frac{3}{2+\sqrt{10}}=\cdots=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$

[S.B.]

б)Ъглите на триъгълника образуват аритметична прогресия :[tex]\alpha - \varphi , \alpha , \alpha + \varphi[/tex]
Като ъгли на триъгълник знаем , че : [tex]\alpha - \varphi + \alpha + \alpha + \varphi = 180^\circ \Leftrightarrow 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ[/tex]
И прогресията добива вида :[tex]60^\circ - \varphi , 60^\circ ,60^\circ + \varphi[/tex]; Явно [tex]\angle BAC = 60^\circ + \varphi[/tex];Ако продължа медианата [tex]AM[/tex] до т. [tex]N[/tex] така,че [tex]AM = MN[/tex] получава се успоредник [tex]ABNC[/tex] ,където [tex]BN = AC[/tex],
но от правоъгълния [tex]\triangle ABN ,BN > AB \Rightarrow AC > AB \Rightarrow \angle C < \angle B \Rightarrow \angle B = 60^\circ , а \angle C = 60^\circ - \varphi[/tex]
Получи се: [tex]\angle C = 60^\circ - \varphi , \angle B = 60^\circ , \angle CAB = 60^\circ + \varphi[/tex]
В [tex]\triangle ABM : \angle ABM = 60^\circ , \angle BMA = 30^\circ[/tex] и Ако [tex]AB = x , BM = 2x ,AM = x\sqrt{3},MC = 2x , \angle AMC = 150^\circ[/tex];
За [tex]\triangle AMC[/tex] прилагам косинусова теорема :[tex]AC^{2} = (x\sqrt{3})^{2} + (2x)^{2} + 2.2x.x\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AC^{2} = 13x^{2} \Rightarrow AC = x\sqrt{13}[/tex]
От успоредника имаме,че [tex]BN = AC = x\sqrt{13}[/tex];
Ако [tex]\angle CAM = \gamma , \angle CAB = 90^\circ + \gamma ,cos \angle CAB = cos(90^\circ + \gamma) = - sin\gamma[/tex]
[tex]\angle ANB = \angle CAM = \gamma[/tex]; От [tex]\triangle ABN : sin\gamma = \frac{AB}{BN} = \frac{x}{x\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}[/tex]
[tex]cos\angle CAB = - sin\gamma = - \frac{\sqrt{13}}{13}[/tex]

[KOPMOPAH]

б)...Ако продължа медианата [tex]AM[/tex] до т. [tex]N[/tex] така,че [tex]AM = MN[/tex] получава се успоредник [tex]ABNC[/tex] ...

Старото златно правило - ИМА ли медиана в задачата, първо я продължи и получи успоредника, пък тогава мисли!

[Сийка]

много ми е интересно как ще изглежда чертежа медианата през т.А е перпендикулярна на АВ. Как така ?

[S.B.]

много ми е интересно как ще изглежда чертежа медианата през т.А е перпендикулярна на АВ. Как така ?

[tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен,като [tex]\angle CAB > 90^\circ[/tex] тогава [tex]MA\bot AB[/tex] и лъчът [tex]MA[/tex] е вътрешен за [tex]\angle CAB[/tex] като [tex]\angle MAB = 90^\circ, а \angle CAM < 90^\circ[/tex]

[KOPMOPAH]

много ми е интересно как ще изглежда чертежа медианата през т.А е перпендикулярна на АВ. Как така ?

За Сийка.png (4.21 KiB) Прегледано 823 пъти

Винаги съм казвал, че един чертеж спестява много приказки и чудене кое как е, затова се старая да слагам чертежи на задачите.